Seja V o subespaço de R^4 com a base
v1=(1,1,1,1), v2=(1,-1,2,2) ; v3=(1,2,-3,-4)
Ache uma base ortogonal de V.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de VsubsetR^4 gerado pelos vetores
v1=(1,1,1,1), v2=(1,-1,2,2), v3=(1,2,-3,-4)
O método para isso é o processo de Gram–Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortogonal, usando projeções no produto interno canônico.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor ortogonal como
u1=v1=(1,1,1,1)
Depois calculamos
u2=v2-proju1(v2),
onde
proju1(v2) =lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1
Como lang<= v2,u1rang<==1-1+2+2=4 e lang<= u1,u1rang<==4, temos
proju1(v2)=u1,
logo
u2 =v2-u1 =(1,-1,2,2)-(1,1,1,1) =(0,-2,1,1)

Passo 3

Agora definimos
u3 =v3 -proju1(v3) -proju2(v3)
Calculamos primeiro
lang<= v3,u1rang<==1+2-3-4=-4,
logo proju1(v3)=(-4/4),u1=(-1,-1,-1,-1).
Depois
lang<= v3,u2rang<= =1cdot0+2cdot(-2)+(-3)cdot1+(-4)cdot1=-11
e lang<= u2,u2rang<==0^2+(-2)^2+1^2+1^2=6, então
proju2(v3) =-116,(0,-2,1,1) =(0,tfrac113,-tfrac116,-tfrac116)
Subtraindo essas projeções de v3 obtemos
u3 =(1,2,-3,-4)-(-1,-1,-1,-1)-(0,tfrac113,-tfrac116,-tfrac116) =(2,-tfrac23,-tfrac16,-tfrac76)

Passo 4

Para evitar frações, podemos escalar u3 por 6, definindo
w3=6,u3=(12,-4,-1,-7)
Verifica-se facilmente que
lang<= w3,u1rang<==0 e
lang<= w3,u2rang<==0,
logo os vetores u1, u2 e w3 formam uma base ortogonal de V.

Resposta

Uma base ortogonal de V é
(1,1,1,1), (0,-2,1,1), (12,-4,-1,-7)

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