Seja V o subespaço de R^4 com a base
v1=(1,1,1,1), v2=(1,-1,2,2) ; v3=(1,2,-3,-4)
Ache uma base ortonormal de V.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de V=spanv1,v2,v3subsetR^4. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para transformar a base dada numa base ortogonal e depois normalizar cada vetor.

Passo 2

Tomamos inicialmente w1=v1=(1,1,1,1). Seu comprimento é
|w1|=raiz1^2+1^2+1^2+1^2=raiz4=2
Então o primeiro vetor ortonormal é
u1=w1|w1|=l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r)

Passo 3

Subtraímos a projeção de v2 sobre u1. Calculamos
v2cdotu1 =(1)tfrac12+(-1)tfrac12+2tfrac12+2tfrac12 =1-1+2+22=2,
então
w2=v2-2,u1 =(1,-1,2,2)-(1,1,1,1)=(0,-2,1,1)
Seu comprimento é
|w2|=raiz0^2+(-2)^2+1^2+1^2=raiz6,
e o segundo vetor ortonormal fica
u2=w2|w2| =1raiz6(0,-2,1,1)

Passo 4

Agora retiramos de v3 as projeções sobre u1 e u2. Primeiro
v3cdotu1 =(1+2-3-4)/2=-2,
e
v3cdotu2 =1cdot0+2cdot(-2)+(-3)cdot1+(-4)cdot1raiz6 =-11raiz6
Logo
w3 =v3-(-2)u1-l(-tfrac11raiz6r)u2 =(2,3,-2,-3)+11raiz6u2
Para simplificar, multiplica-se w3 por 6 e obtém-se (12,-4,-1,-7), cujo comprimento é
raiz12^2+(-4)^2+(-1)^2+(-7)^2 =raiz210
Assim o terceiro vetor ortonormal é
u3 =1raiz210(12,-4,-1,-7)

Resposta

u1=l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r), u2=1raiz6(0,-2,1,1), u3=1raiz210(12,-4,-1,-7)

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