Seja
A=(ccc 1 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -4 & 4 )
Calcule o polinômio característico psi(lambda)=det(A-lambda I) de matriz A e demonstre que A tem dois autovalores: lambda1=1 e lambda2=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o polinômio característico
psi(lambda)=detl(A-lambda Ir)
da matriz
A= 1 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -4 & 4
e, a partir dele, mostrar que os únicos autovalores de A são lambda1=1 e lambda2=2. Para isso, vamos montar A-lambda I e calcular seu determinante por expansão na primeira linha.

Passo 2

Escrevendo
A - lambda I = 1-lambda & 2 & -1 1 & -lambda & 1 2 & -4 & 4-lambda ,
calculamos
psi(lambda) =det(A-lambda I) =(1-lambda)det-lambda & 1-4 & 4-lambda -2det1 & 12 & 4-lambda +(-1)det1 & -lambda2 & -4

Passo 3

Agora computamos cada menor:
det-lambda & 1-4 & 4-lambda =(-lambda)(4-lambda)-1cdot(-4) =lambda^2-4lambda+4 =(lambda-2)^2
det1 & 12 & 4-lambda =1cdot(4-lambda)-1cdot2 =4-lambda-2 =2-lambda
det1 & -lambda2 & -4 =1cdot(-4)-(-lambda)cdot2 =-4+2lambda

Passo 4

Substituindo em psi(lambda):
psi(lambda) =(1-lambda)(lambda-2)^2 -2(2-lambda) -1,(-4+2lambda)
Como -2(2-lambda)=2lambda-4 e -1cdot(-4+2lambda)=4-2lambda, esses dois termos se cancelam:
-2(2-lambda)+(4-2lambda)=0
Logo
psi(lambda) =(1-lambda)(lambda-2)^2 =-(lambda-1)(lambda-2)^2

Passo 5

O polinômio característico é
psi(lambda)=-(lambda-1)(lambda-2)^2
Seus zeros são lambda=1 (multiplicidade 1) e lambda=2 (multiplicidade 2). Portanto, os autovalores de A são exatamente
lambda1=1 e lambda2=2.

Resposta

psi(lambda)=-(lambda-1)(lambda-2)^2, logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=2.

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