Determine a função densidade de probabilidade para cada uma das seguintes funções acumuladas de probabilidade. F(x)=\left\{\begin{array}{cr}0, & x<-2, \\\\ 0,25 x+0,5, & -2 \leqslant x<1, \\\\ 0,5 x+0,25, & 1 \leqslant x<1,5, \\\\ 1, & x \geqslant 1,5 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x), que é uma função contínua e piecewise linear em três intervalos: antes de -2, entre -2 e 1, entre 1 e 1,5, e depois de 1,5. Para encontrar a densidade de probabilidade f(x) de uma variável contínua, usamos
f(x)=F'(x)
nos pontos em que F é diferenciável, e verificamos se há saltos em F (essas corresponderiam a massas atômicas).
Passo 2
No trecho -2<x<1,
F(x)=0,25x+0,5
Logo,
f(x)=\frac{d}{dx}\bigl(0,25x+0,5\bigr)=0,25.
Passo 3
No trecho 1<x<1,5,
F(x)=0,5x+0,25
Logo,
f(x)=\frac{d}{dx}\bigl(0,5x+0,25\bigr)=0,5.
Passo 4
Para x<-2 e para x>1,5, F(x) é constante 0 ou 1, então
f(x)=0.
Passo 5
Verificando os pontos de fronteira x=-2, x=1 e x=1,5, vemos que F é contínua em todos eles (sem saltos), logo não há massa discreta.