Determine a função densidade de probabilidade para cada uma das seguintes funções acumuladas de probabilidade.
F(x)=\left\{\begin{array}{cr}0, & x<-2, \\\\ 0,25 x+0,5, & -2 \leqslant x<1, \\\\ 0,5 x+0,25, & 1 \leqslant x<1,5, \\\\ 1, & x \geqslant 1,5 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x), que é uma função contínua e piecewise linear em três intervalos: antes de -2, entre -2 e 1, entre 1 e 1,5, e depois de 1,5. Para encontrar a densidade de probabilidade f(x) de uma variável contínua, usamos
f(x)=F'(x)
nos pontos em que F é diferenciável, e verificamos se há saltos em F (essas corresponderiam a massas atômicas).

Passo 2

No trecho -2<x<1,
F(x)=0,25x+0,5
Logo,
f(x)=\frac{d}{dx}\bigl(0,25x+0,5\bigr)=0,25.

Passo 3

No trecho 1<x<1,5,
F(x)=0,5x+0,25
Logo,
f(x)=\frac{d}{dx}\bigl(0,5x+0,25\bigr)=0,5.

Passo 4

Para x<-2 e para x>1,5, F(x) é constante 0 ou 1, então
f(x)=0.

Passo 5

Verificando os pontos de fronteira x=-2, x=1 e x=1,5, vemos que F é contínua em todos eles (sem saltos), logo não há massa discreta.

Resposta

A densidade de probabilidade é
f(x)= \begin{cases} 0,25, & -2<x<1,\\\\ 0,5, & 1<x<1,5,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

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