Determine a função derivada das funções.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações importantes dadas:
- A função é o produto de duas partes:
e . - Queremos
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Que método usar? Como a função é produto de duas funções, vamos usar a regra do produto. Vou explicar as regras que vou aplicar, bem devagarinho.
Regra do produto (a ideia): se
e
são funções, então a derivada de
é
Ou seja, a derivada do produto é “deriva a primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes deriva a segunda”. Fácil de decorar com jeito engraçado: “deriva a primeira, multiplica pela segunda; soma a primeira vezes a derivada da segunda”.
Regra da potência (para potências racionais): se
com
qualquer número real, então
Aqui essa regra vale também para
(a raiz cúbica).
Também vamos usar que a derivada de um polinômio é obtida derivando termo a termo:
e a derivada de constante é
.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Agora derivamos cada uma separadamente.
Derivada de
: usando a regra da potência:
Explicando: subtraímos
do expoente
, ficando
, e multiplicamos pelo
original.
Passo 4
Derivada de
: derivamos termo a termo do polinômio:
Detalhe: a derivada de
é
, a de
é
, e a de
é
.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 6
Agora simplificamos termo a termo. Primeiro vamos distribuir os fatores e simplificar potências:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Passo 7
Somando os termos semelhantes (mesmos poderes de
):
Termos com
:
Termos com
:
Fica ainda o termo com
:
Portanto
Passo 8
Opcionalmente podemos fatorar um fator comum para escrever de forma mais compacta. Um fator prático é
. Fatorando:
Convertendo
para raiz cúbica, temos
, então também se pode escrever
Observação importante sobre domínio: a expressão simplificada com
(ou com
no denominador) não está definida em
. De fato,
está definida em
(porque
e
), mas a derivada no ponto
não existe (comportamento singular do termo
). Portanto as fórmulas acima valem para
.