Determine a função derivada das funções.
f(x)=\sqrt[3]{x}\left(3 x^{4}+2 x-1\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{x}\left(3 x^{4}+2 x-1\right).
Informações importantes dadas:
  • A função é o produto de duas partes: \sqrt[3]{x} e 3x^{4}+2x-1.
  • Queremos f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Que método usar? Como a função é produto de duas funções, vamos usar a regra do produto. Vou explicar as regras que vou aplicar, bem devagarinho.
Regra do produto (a ideia): se u(x) e v(x) são funções, então a derivada de u\cdot v é
(u\cdot v)'=u'\cdot v + u\cdot v'.
Ou seja, a derivada do produto é “deriva a primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes deriva a segunda”. Fácil de decorar com jeito engraçado: “deriva a primeira, multiplica pela segunda; soma a primeira vezes a derivada da segunda”.
Regra da potência (para potências racionais): se u(x)=x^{n} com n qualquer número real, então
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aqui essa regra vale também para n=\tfrac{1}{3} (a raiz cúbica).
Também vamos usar que a derivada de um polinômio é obtida derivando termo a termo: \frac{d}{dx}(a x^{m})=a m x^{m-1} e a derivada de constante é 0.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}, \qquad v(x)=3x^{4}+2x-1.
Agora derivamos cada uma separadamente.
Derivada de u: usando a regra da potência:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{1/3}=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Explicando: subtraímos 1 do expoente \tfrac{1}{3}, ficando -\tfrac{2}{3}, e multiplicamos pelo \tfrac{1}{3} original.

Passo 4

Derivada de v: derivamos termo a termo do polinômio:
v'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{4})+\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(-1)=3\cdot4x^{3}+2-0=12x^{3}+2.
Detalhe: a derivada de 3x^{4} é 12x^{3}, a de 2x é 2, e a de -1 é 0.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\left(\frac{1}{3}x^{-2/3}\right)\left(3x^{4}+2x-1\right)+x^{1/3}\left(12x^{3}+2\right).

Passo 6

Agora simplificamos termo a termo. Primeiro vamos distribuir os fatores e simplificar potências:
Para o primeiro termo:
\frac{1}{3}x^{-2/3}\cdot 3x^{4}=x^{-2/3}\cdot x^{4}=x^{4-2/3}=x^{\frac{12}{3}-\frac{2}{3}}=x^{10/3}.
\frac{1}{3}x^{-2/3}\cdot 2x=\frac{2}{3}x^{1-2/3}=\frac{2}{3}x^{1/3}.
\frac{1}{3}x^{-2/3}\cdot(-1)=-\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Para o segundo termo:
x^{1/3}\cdot 12x^{3}=12x^{3+1/3}=12x^{10/3}.
x^{1/3}\cdot 2=2x^{1/3}.

Passo 7

Somando os termos semelhantes (mesmos poderes de x):
Termos com x^{10/3}:
x^{10/3}+12x^{10/3}=13x^{10/3}.
Termos com x^{1/3}:
\frac{2}{3}x^{1/3}+2x^{1/3}=\left(\frac{2}{3}+\frac{6}{3}\right)x^{1/3}=\frac{8}{3}x^{1/3}.
Fica ainda o termo com x^{-2/3}:
-\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Portanto
f'(x)=13x^{10/3}+\frac{8}{3}x^{1/3}-\frac{1}{3}x^{-2/3}.

Passo 8

Opcionalmente podemos fatorar um fator comum para escrever de forma mais compacta. Um fator prático é \tfrac{1}{3}x^{-2/3}. Fatorando:
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}\bigl(39x^{4}+8x-1\bigr).
Convertendo x^{-2/3} para raiz cúbica, temos x^{-2/3}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}, então também se pode escrever
f'(x)=\frac{39x^{4}+8x-1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.
Observação importante sobre domínio: a expressão simplificada com x^{-2/3} (ou com \sqrt[3]{x^{2}} no denominador) não está definida em x=0. De fato, f está definida em x=0 (porque \sqrt[3]{0}=0 e f(0)=0\cdot(-1)=0), mas a derivada no ponto x=0 não existe (comportamento singular do termo x^{-2/3}). Portanto as fórmulas acima valem para x\neq 0.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}\bigl(39x^{4}+8x-1\bigr),\quad x\neq 0

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