Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=x^{2}+\operatorname{arcsen} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{2}+\arcsin x
Aqui vamos usar duas regras básicas de derivação: a regra da soma, a regra do poder e a derivada da função x \mapsto \arcsin x.

Passo 2

Aplicando a regra do poder à parte x^{2}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 3

Para a parte \arcsin x, sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin x\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}},
válido para -1 < x < 1.

Passo 4

Como a derivada de uma soma é a soma das derivadas, juntamos os resultados:
f'(x)=2x + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=2x + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}},\quad -1 < x < 1.

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