Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{arc} \cos x-\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de
f(x)=\operatorname{arccos}(x)-\sqrt{x}.
O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas de funções elementares, usando a regra da diferença \bigl(f-g\bigr)'=f'-g'. Vamos precisar das fórmulas:
  1. \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(x)\bigr],
  2. \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl[\sqrt{x}\bigr].

Passo 2

Derivada de \operatorname{arccos}(x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(x)\bigr] =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Esse resultado vem da derivada do arco cujo cosseno é x.

Passo 3

Derivada de \sqrt{x}. Como \sqrt{x}=x^{1/2}, aplicamos a regra de potência:
\frac{d}{dx}\bigl[x^{1/2}\bigr] =\frac12\,x^{-1/2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Aplicando a regra da diferença \bigl(f-g\bigr)'=f'-g', temos
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(x)\bigr] -\frac{d}{dx}\bigl[\sqrt{x}\bigr] =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} -\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}.

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