Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}-x^{-2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}-x^{-2}.
O conteúdo envolvido é derivação de funções potenciais e soma de funções, utilizando a regra da potência: se g(x)=x^n, então
g'(x)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada termo em notação de potência:
\sqrt{x}=x^{1/2},\quad \sqrt[3]{x}=x^{1/3},\quad -x^{-2}\text{ já está em forma \(x^n\).}áá
Assim
f(x)=x^{1/2}+x^{1/3}-x^{-2}.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência termo a termo:
  • Para x^{1/2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) =\tfrac12\,x^{1/2-1} =\tfrac12\,x^{-1/2}.
  • Para x^{1/3}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/3}\bigr) =\tfrac13\,x^{1/3-1} =\tfrac13\,x^{-2/3}.
  • Para -x^{-2}:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}\bigr) =-(-2)\,x^{-2-1} =2\,x^{-3}.

Passo 4

Somando as derivadas, obtemos
f'(x) =\tfrac12\,x^{-1/2}+\tfrac13\,x^{-2/3}+2\,x^{-3}.
Podemos também escrever em forma de radicais:
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x}} +\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} +\frac{2}{x^3}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac{2}{x^3}.

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