Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[3]{x \sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{x\sqrt{x}}.
O conteúdo que vamos usar é a conversão de radicais em potências e, em seguida, a regra de derivação de potências:
se f(x)=x^{n}, então f'(x)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Primeiro expressamos tudo em potências: \sqrt{x}=x^{1/2}, então
x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}.
Em seguida,
f(x)=\sqrt[3]{x^{3/2}}=\bigl(x^{3/2}\bigr)^{1/3}=x^{\frac{3/2}{3}}=x^{1/2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potências a f(x)=x^{1/2}:
f'(x)=\frac12\,x^{\frac12-1}=\frac12\,x^{-1/2}.
Em forma de radical, isso equivale a
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad(x>0).

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