Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=x \sqrt{x^{7}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\sqrt{x^{7}}.
O conteúdo principal é manipular potências fracionárias e aplicar a regra do poder.

Passo 2

Reescrevemos a raiz quadrada como potência:
\sqrt{x^{7}}=(x^{7})^{\tfrac12}=x^{\tfrac72}.
Assim
f(x)=x\cdot x^{\tfrac72}=x^{1+\tfrac72}=x^{\tfrac92}.

Passo 3

Agora basta usar a regra do poder: se g(x)=x^{p} então
g'(x)=p\,x^{p-1}.
Aqui p=\tfrac92, logo
f'(x)=\frac{9}{2}\,x^{\tfrac92-1}=\frac{9}{2}\,x^{\tfrac72}.

Resposta

f'(x)=\frac{9}{2}\,x^{\tfrac72}.

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