Encontre uma equação da tangente às curvas nos pontos dados.
y=2 x \operatorname{sen} x, \quad\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y=2x\sin x no ponto \bigl(\tfrac\pi2,\pi\bigr). Para isso, vamos precisar calcular a derivada y', avaliar y'(\tfrac\pi2) e então usar a fórmula da reta tangente:
y - y_0 = m\,(x - x_0).

Passo 2

Calcular a derivada de y=2x\sin x usando a regra do produto:
y' = \frac{d}{dx}(2x)\,\sin x + 2x\,\frac{d}{dx}(\sin x) = 2\sin x + 2x\cos x.

Passo 3

Avaliar a derivada no ponto x_0=\tfrac\pi2:
y'\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = 2\sin\bigl(\tfrac\pi2\bigr) + 2\cdot\tfrac\pi2\cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = 2\cdot1 + \pi\cdot0 = 2.

Passo 4

Usar a fórmula da reta tangente com \,(x_0,y_0)=(\tfrac\pi2,\pi) e coeficiente angular m=2:
y - \pi = 2\bigl(x - \tfrac\pi2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = 2x.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 2x.

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