Seja F \subset \mathbb{R}^{2}. Dizemos que F é fechado se o conjunto dos pontos de \mathbb{R}^{2} não pertencentes a F for aberto. Verifique quais dos conjuntos seguintes são fechados.
\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=1,1 \leq y<3\right\}

Passo 1

O enunciado define
F = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=1,\;1\le y<3\}
e lembra que um conjunto em \mathbb{R}^2 é fechado se o seu complemento for aberto. Vamos verificar se F contém todos os seus pontos-limite ou, equivalentemente, se o complemento de F é aberto.

Passo 2

Um critério prático: se existe uma sequência \{p_n\}\subset F que converge a um ponto p\notin F, então F não é fechado, pois falta incluir esse ponto-limite.

Passo 3

Considere a sequência
p_n = (1,\,3 - \tfrac1n),
para n=1,2,3,\dots. Cada p_n satisfaz x=1 e 1\le 3-\tfrac1n<3, logo p_n\in F. Porém
\lim_{n\to\infty}p_n = (1,3),
e (1,3)\notin F porque em F temos apenas y<3. Portanto F não contém esse ponto-limite.

Resposta

O conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=1,\;1\le y<3\} não é fechado.

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