Seja
. Dizemos que
é fechado se o conjunto dos pontos de
não pertencentes a
for aberto. Verifique quais dos conjuntos seguintes são fechados.
Passo 1
O enunciado define
e lembra que um conjunto em
é fechado se o seu complemento for aberto. Vamos verificar se
contém todos os seus pontos-limite ou, equivalentemente, se o complemento de
é aberto.
Passo 2
Um critério prático: se existe uma sequência
que converge a um ponto
, então
não é fechado, pois falta incluir esse ponto-limite.
Passo 3
Considere a sequência
para
. Cada
satisfaz
e
, logo
. Porém
e
porque em
temos apenas
. Portanto
não contém esse ponto-limite.
Resposta
O conjunto
não é fechado.