Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[5]{\frac{3}{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[5]{\frac{3}{x^{2}}}
Isso envolve reescrever a função em potências e usar a regra do poder, segundo a qual, para g(x)=x^{n}, temos g'(x)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Reescrevendo em forma de potência:
f(x)=\Bigl(\tfrac{3}{x^{2}}\Bigr)^{1/5} =\;3^{1/5}\,(x^{-2})^{1/5} =\;3^{1/5}\,x^{-2/5}.

Passo 3

Aplicando a regra do poder a \;f(x)=3^{1/5}\,x^{-2/5}:
f'(x) =3^{1/5}\,\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2/5}\bigr) =3^{1/5}\,\Bigl(-\tfrac{2}{5}\Bigr)\,x^{-2/5-1} =-\frac{2}{5}\,3^{1/5}\,x^{-7/5}.

Passo 4

Escrevendo em forma radical e simplificando:
f'(x) =-\frac{2\,\sqrt[5]{3}}{5\,x^{7/5}}.

Resposta

f'(x) = -\dfrac{2\,\sqrt[5]{3}}{5\,x^{7/5}}

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