y^prime prime+2 y^prime+k y=0
k>1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + k,y = 0,
onde k>1. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo ysim e^rt:
r^2 + 2r + k = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot k = 4 - 4k = 4(1-k)
Como k>1, segue que De<a<0, ou seja, raízes complexas conjugadas.

Passo 4

As raízes são
r = -2 pm raiz4-4k2 = -1 pm iraizk-1
Chamando omega = raizk-1, temos r=-1pm iomega.

Passo 5

Para raízes da forma alphapm iomega a solução geral é
y(t) = e^alpha tl(C1cos(omega t)+C2sin(omega t)r)
Aqui alpha=-1, logo

Passo 6

y(t) = e^-tl(C1cos(raizk-1,t) + C2sin(raizk-1,t)r),
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(t) = e^-tl(C1cos(raizk-1,t) + C2sin(raizk-1,t)r)

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