Determine a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cuja transformada de Fourier é \hat{f}(w)=\frac{1}{a+i b+i w} para a>0 \mathrm{e} b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} cuja transformada de Fourier, na convenção
\hat f(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iwt}\,dt,
é
\hat f(w)=\frac{1}{a+i b + i w},
com a>0 e b\in\mathbb{R}. Vamos usar a propriedade de que exponenciais amortecidas causais têm transformada de Fourier da forma 1/(s+i w).

Passo 2

Recordando a transformada de Fourier de uma exponencial causal: se \Re(s)>0 então
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{-i w t}\,dt =\frac{1}{s+i w}.
Isto é, a função
g(t)=e^{-s t}u(t),
onde u(t) é o degrau de Heaviside, satisfaz \widehat{g}(w)=1/(s+i w).

Passo 3

No nosso caso, temos
\hat f(w) =\frac{1}{a+i b+i w} =\frac{1}{(a+i b)+i w},
de modo que basta tomar s=a+i b. Portanto a pré-imagem pelo inverso da transformada de Fourier é
f(t)=e^{-(a+i b)\,t}\,u(t),
isto é,
f(t)=e^{-a t}\,e^{-i b t}\,u(t).

Resposta

A função procurada é
f(t)= \begin{cases} e^{-a t}\,e^{-i b t},&t\ge0,\\\\ 0,&t<0. \end{cases}

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