Faça o que é pedido em cada item:
(a) Encontre a série de Fourier da função
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{3}, \quad \text { se }-\pi<x \leq \pi \\\ \text { estendida periodicamente para toda a reta } \end{array}\right.
(b) Mostre que
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{6}}=\frac{\pi^{6}}{945}

Dicas:

Já vimos, em sala de aula, que \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} e que \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90}.
Lembrar da Identidade de Parseval \left(\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)^{2} d x\right).
(c) Mostre que
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)^{3}}=\frac{\pi^{3}}{32}
Dica: Usar item (b) da Questão 01.

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Primeiro, achar a série de Fourier de f(x)=x^3 em -\pi<x\le\pi estendida com período 2\pi. Como x^3 é função ímpar, só teremos termos de seno. Depois, usar a identidade de Parseval para essa série e mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{6}}=\frac{\pi^{6}}{945}.
Por fim, avaliar a série obtida em x=\pi/2 para provar que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}=\frac{\pi^{3}}{32}.

Passo 2

Calculamos os coeficientes de seno
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{3}\sin(nx)\,dx.
Como x^{3}\sin(nx) é par, isso dá
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin(nx)\,dx.
Fazendo três integrações por partes, chega‐se a
\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin(nx)\,dx =-\frac{\pi^{3}(-1)^{n}}{n}+\frac{6\pi(-1)^{n}}{n^{3}}.
Logo
b_{n} =\frac{2}{\pi}\biggl[-\frac{\pi^{3}(-1)^{n}}{n}+\frac{6\pi(-1)^{n}}{n^{3}}\biggr] =(-1)^{n}\Bigl(-\frac{2\pi^{2}}{n}+\frac{12}{n^{3}}\Bigr).
Assim a série de Fourier fica
x^{3} =\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nx) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(-\frac{2\pi^{2}}{n}+\frac{12}{n^{3}}\Bigr)\sin(nx).

Passo 3

Pela identidade de Parseval em [-\,\pi,\pi] temos
\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{6}\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{6}\,dx =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{7}}{7} =\frac{2\pi^{6}}{7}.
Por outro lado,
b_{n}^{2} =\Bigl(-\frac{2\pi^{2}}{n}+\frac{12}{n^{3}}\Bigr)^{2} =\frac{4\pi^{4}}{n^{2}}-\frac{48\pi^{2}}{n^{4}}+\frac{144}{n^{6}}.
Somando em n e usando \sum1/n^{2}=\pi^{2}/6 e \sum1/n^{4}=\pi^{4}/90, obtemos
\sum b_{n}^{2} =4\pi^{4}\frac{\pi^{2}}{6} -48\pi^{2}\frac{\pi^{4}}{90} +144\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{6}} =\frac{2\pi^{6}}{3}-\frac{8\pi^{6}}{15}+144S,
onde S=\sum1/n^{6}. Como isso vale \tfrac{2\pi^{6}}{7}, equacionamos
\frac{2\pi^{6}}{7} =\frac{2\pi^{6}}{3}-\frac{8\pi^{6}}{15}+144S \;\implies\; 144S=\frac{16\pi^{6}}{105} \;\implies\; S=\frac{\pi^{6}}{945}.

Passo 4

Para a soma alternada sobre ímpares, avaliamos a série em x=\pi/2\). Como \[\sin\bigl(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)= \begin{cases} (-1)^{k},&n=2k+1,\\\\ 0,&n\text{ par}, \end{cases}
temos
\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)^{3} =2\pi^{2}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sin(n\pi/2)}{n} +12\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^{3}}.
Isso reduz a
\frac{\pi^{3}}{8} =\pi^{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1} -12\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{3}}.
Sabendo que (\sum_{k=0}{\infty}(-1){k}/(2k+1)=\pi/4], isolamos
T=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{3}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi^{3}}{8} =\frac{\pi^{3}}{2}-12(-T) \;\implies\; T=\frac{\pi^{3}}{32}.

Resposta

(a) x^{3} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(-\frac{2\pi^{2}}{n}+\frac{12}{n^{3}}\Bigr)\sin(nx).
(b) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{6}}=\frac{\pi^{6}}{945}.
(c) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}=\frac{\pi^{3}}{32}.

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