Faça o que é pedido em cada item:
(a) Encontre a série de Fourier da função
(b) Mostre que
Dicas:
Já vimos, em sala de aula, que
e que
.
Lembrar da Identidade de Parseval
.
(c) Mostre que
Dica: Usar item (b) da Questão 01.
(a) Encontre a série de Fourier da função
Lembrar da Identidade de Parseval
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Primeiro, achar a série de Fourier de
em
estendida com período
. Como
é função ímpar, só teremos termos de seno. Depois, usar a identidade de Parseval para essa série e mostrar que
Por fim, avaliar a série obtida em
para provar que
Passo 2
Calculamos os coeficientes de seno
Como
é par, isso dá
Fazendo três integrações por partes, chega‐se a
Logo
Assim a série de Fourier fica
Passo 3
Pela identidade de Parseval em
temos
Por outro lado,
Somando em
e usando
e
, obtemos
onde
. Como isso vale
, equacionamos
Passo 4
Para a soma alternada sobre ímpares, avaliamos a série em
temos
Isso reduz a
Sabendo que (\sum_{k=0}{\infty}(-1){k}/(2k+1)=\pi/4], isolamos
Resposta
(a)
(b)
(c)