Estude a continuidade das funções a seguir:
(a) f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 1 & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(b) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(c) f(x, y)=\left\{\begin{array}{crl}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(d) f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(e) f(x, y)=5 x^{3}-x^{2} y^{2},
(f) f(x, y)=e^{-x y} \cos (x+y).
Passo 1
O enunciado nos dá seis funções f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R. Nas alíneas (a)–(d) cada função é dada por uma expressão racional para (x,y)\neq(0,0) e por um valor separado em (0,0). Nas alíneas (e) e (f) temos um polinômio e uma composição de funções elementares.
Conteúdo: continuidade em \mathbb R^2, limites em duas variáveis, teorema do confronto, coordenadas polares e teste de dependência de trajetória.
Passo 2
Observação geral para (a)–(d): em todo ponto (x,y)\neq(0,0) o denominador das partes racionais é não nulo, logo cada função é contínua fora da origem. Só resta estudar a continuidade em (0,0). As funções das alíneas (e) e (f) são, respectivamente, um polinômio em x,y e uma composição de e^{-xy} e \cos(x+y), todas contínuas em \mathbb R^2.
enquanto ao longo de x=0 temos f(0,y)=0. Limites diferentes indicam que o limite não existe em (0,0), logo é descontínua ali.
Passo 7
Para (e)
f(x,y)=5x^3 - x^2y^2
é um polinômio em x,y, portanto contínua em todo \mathbb R^2.
Passo 8
Para (f)
f(x,y)=e^{-xy}\cos(x+y)
é composição de (x,y)\mapsto -xy, da exponencial e do cosseno, todas contínuas, logo f é contínua em todo \mathbb R^2.
Resposta
(a) descontínua em (0,0) e contínua em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.
(b) descontínua em (0,0) e contínua em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.
(c) contínua em todo \mathbb R^2.
(d) descontínua em (0,0) e contínua em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.
(e) contínua em todo \mathbb R^2.
(f) contínua em todo \mathbb R^2.