Estude a continuidade das funções a seguir:
(a) f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 1 & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(b) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(c) f(x, y)=\left\{\begin{array}{crl}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(d) f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(e) f(x, y)=5 x^{3}-x^{2} y^{2},
(f) f(x, y)=e^{-x y} \cos (x+y).

Passo 1

O enunciado nos dá seis funções f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R. Nas alíneas (a)–(d) cada função é dada por uma expressão racional para (x,y)\neq(0,0) e por um valor separado em (0,0). Nas alíneas (e) e (f) temos um polinômio e uma composição de funções elementares.
Conteúdo: continuidade em \mathbb R^2, limites em duas variáveis, teorema do confronto, coordenadas polares e teste de dependência de trajetória.

Passo 2

Observação geral para (a)–(d): em todo ponto (x,y)\neq(0,0) o denominador das partes racionais é não nulo, logo cada função é contínua fora da origem. Só resta estudar a continuidade em (0,0). As funções das alíneas (e) e (f) são, respectivamente, um polinômio em x,y e uma composição de e^{-xy} e \cos(x+y), todas contínuas em \mathbb R^2.

Passo 3

Para (a) definimos
f(x,y)=\frac{x^2y^3}{2x^2+y^2}\quad\text{se }(x,y)\neq(0,0),\quad f(0,0)=1.
Usando
\left|\frac{x^2y^3}{2x^2+y^2}\right| \le \frac{|x^2y^3|}{y^2} =|x^2y| \le (\sqrt{x^2+y^2})^3,
segue \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. Como f(0,0)=1\neq0, há descontinuidade em (0,0).

Passo 4

Para (b) definimos
f(x,y)=\frac{xy}{x^2+xy+y^2}\quad\text{se }(x,y)\neq(0,0),\quad f(0,0)=0.
Na reta y=kx temos
f(x,kx)=\frac{kx^2}{x^2+kx^2+k^2x^2} =\frac{k}{1+k+k^2},
que depende de k. Portanto o limite ao originar não existe e há descontinuidade em (0,0).

Passo 5

Para (c) definimos
f(x,y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\quad\text{se }(x,y)\neq(0,0),\quad f(0,0)=0.
Em coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)
f(r,\theta) =\frac{r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)}{r^2} =r\bigl(\cos^3\theta+\sin^3\theta\bigr)\to0\quad( r\to0 ).
Como o limite é zero e f(0,0)=0, f é contínua em (0,0) e, portanto, em toda \mathbb R^2.

Passo 6

Para (d) definimos
f(x,y)=\frac{xy^4}{x^2+y^8}\quad\text{se }(x,y)\neq(0,0),\quad f(0,0)=0.
Ao longo de x=y^4 vem
f(y^4,y) =\frac{y^4\cdot y^4}{y^8+y^8} =\frac12,
enquanto ao longo de x=0 temos f(0,y)=0. Limites diferentes indicam que o limite não existe em (0,0), logo é descontínua ali.

Passo 7

Para (e)
f(x,y)=5x^3 - x^2y^2
é um polinômio em x,y, portanto contínua em todo \mathbb R^2.

Passo 8

Para (f)
f(x,y)=e^{-xy}\cos(x+y)
é composição de (x,y)\mapsto -xy, da exponencial e do cosseno, todas contínuas, logo f é contínua em todo \mathbb R^2.

Resposta

(a) descontínua em (0,0) e contínua em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.
(b) descontínua em (0,0) e contínua em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.
(c) contínua em todo \mathbb R^2.
(d) descontínua em (0,0) e contínua em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.
(e) contínua em todo \mathbb R^2.
(f) contínua em todo \mathbb R^2.

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