Faça o que é pedido em cada item:
(a) Desenvolver em série de Fourier a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que é 2 \pi-periódica par e tal que f(x)=1-\frac{2 x}{\pi}, para todo x \in[0, \pi].
(b) Desenvolver em série de Fourier a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que é 2 \pi-periódica e tal que f(x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}\right), para todo \left.\left.x \in\right]-\pi, \pi\right].
(c) Desenvolver em série de Fourier a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que é 2 \pi-periódica e tal que
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se }-\pi<x \leq 0 \\\ \sin (x), \text { se } 0 \leq x \leq \pi \end{array}\right.
(d) Use o item (c) para calcular a soma da série numérica
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1}
A soma dessa série numérica também pode ser obtida de outra forma muito mais fácil. Faça de um outro jeito mais fácil (Dica: série telescópica).

Passo 1

O enunciado pede quatro desenvolvimentos em séries de Fourier e, no item (d), a soma de uma série numérica. O conteúdo envolve:
  • Série de Fourier de funções pares (apenas cossenos) e de funções gerais (cossenos e senos).
  • Cálculo de coeficientes a_0, a_n e b_n por integrais.
  • Uso do resultado de convergência da série de Fourier num ponto e comparação com o valor da função.
  • Soma de série numérica por método de Fourier e por telescopia.

Passo 2

(a) Função 2\pi-periódica e par definida em [0,\pi] por
f(x)=1-\frac{2x}{\pi}.
Como é par, só há termos em cosseno:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx),
com
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Bigl(1-\frac{2x}{\pi}\Bigr)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Bigl(1-\frac{2x}{\pi}\Bigr)\cos(nx)\,dx.
Calculando
a_0=\frac{2}{\pi}\biggl[x-\frac{x^2}{\pi}\biggr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\bigl(\pi-\pi\bigr)=0,
e
\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0, \quad \int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
Logo
a_n=\frac{2}{\pi}\Bigl(0-\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}\Bigr) =\frac{4}{\pi^2}\,\frac{1-(-1)^n}{n^2}.
Isto dá a_n=0 para n par e a_n=\frac{8}{\pi^2(2k+1)^2} para n=2k+1.
Portanto
\boxed{ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{\pi^2(2k+1)^2}\,\cos\bigl((2k+1)x\bigr). }

Passo 3

(b) Função constante f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. A série de Fourier em (-\pi,\pi] é trivial:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2, \quad a_n=0,\quad b_n=0,
logo
\boxed{f(x)=\frac{a_0}{2}=1.}

Passo 4

(c) Função 2\pi\)-periódica dada por \[f(x)= \begin{cases} 0,&-\pi<x\le0,\\\ \sin x,&0\le x\le\pi. \end{cases}
Série geral
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
com
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx =\frac{2}{\pi},
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx =-\frac{(-1)^n+1}{\pi(n^2-1)},
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(nx)\,dx =0.
Note que a_n=0\] se \(n é ímpar e, para n=2k,
a_{2k}=-\frac{2}{\pi\bigl((2k)^2-1\bigr)}.
Então
\boxed{ f(x)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k\,x)}{4k^2-1}. }

Passo 5

(d) Pela convergência da série de Fourier num ponto de continuidade, em x=0 temos f(0)=0. Do lado da série:
0 =\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^2-1} \;\Longrightarrow\; \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^2-1}=\frac12.
Método telescópico: note
\frac{1}{4n^2-1} =\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).
Somando de n=1 até N telescopa e, ao N\to\infty, sobra
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1} =\frac12\Bigl(1-\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\Bigr) =\frac12.

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{\pi^2(2k+1)^2}\,\cos\bigl((2k+1)x\bigr).
(b) \displaystyle f(x)=1.
(c) \displaystyle f(x)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k\,x)}{4k^2-1}.
(d) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1}=\frac12. (também obtido por série telescópica)

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