Faça o que é pedido em cada item:
(a) Desenvolver em série de Fourier a função
que é
-periódica par e tal que
, para todo
.
(b) Desenvolver em série de Fourier a função
que é
-periódica e tal que
, para todo
.
(c) Desenvolver em série de Fourier a função
que é
-periódica e tal que
(d) Use o item (c) para calcular a soma da série numérica
A soma dessa série numérica também pode ser obtida de outra forma muito mais fácil. Faça de um outro jeito mais fácil (Dica: série telescópica).
(a) Desenvolver em série de Fourier a função
(b) Desenvolver em série de Fourier a função
(c) Desenvolver em série de Fourier a função
Passo 1
O enunciado pede quatro desenvolvimentos em séries de Fourier e, no item (d), a soma de uma série numérica. O conteúdo envolve:
- Série de Fourier de funções pares (apenas cossenos) e de funções gerais (cossenos e senos).
- Cálculo de coeficientes
, e por integrais. - Uso do resultado de convergência da série de Fourier num ponto e comparação com o valor da função.
- Soma de série numérica por método de Fourier e por telescopia.
Passo 2
(a) Função
-periódica e par definida em
por
Como é par, só há termos em cosseno:
com
Calculando
e
Logo
Isto dá
para
par e
para
.
Portanto
Portanto
Passo 3
(b) Função constante
. A série de Fourier em
é trivial:
logo
Passo 4
(c) Função
Série geral
com
Note que
é ímpar e, para
,
Então
Passo 5
(d) Pela convergência da série de Fourier num ponto de continuidade, em
temos
. Do lado da série:
Método telescópico: note
Somando de
até
telescopa e, ao
, sobra
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) (também obtido por série telescópica)
(b)
(c)
(d)