Determine uma função
tal que
, use a função
para calcular
sobre a curva
dada, onde
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede (1) encontrar uma função potencial
tal que
e (2) usar essa função para calcular
na curva
,
.
O assunto é campos conservativos e o teorema fundamental para integrais de linha.
na curva
O assunto é campos conservativos e o teorema fundamental para integrais de linha.
Passo 2
Para achar
satisfazendo
, integremos a primeira componente em
:
onde
é uma “ constante” a determinar.
Passo 3
Agora impomos a segunda componente do gradiente:
Isso dá
, logo
. Podemos tomar
sem perda de generalidade. Portanto
Passo 4
Como
, usamos o teorema fundamental das integrais de linha:
Calculamos os extremos:
e
.
Logo
Logo
Assim