Determine uma função f tal que F=nabla f, use a função f para calcular integralgamma F d r sobre a curva gamma dada, onde F(x, y)=x^3 y^4 i+x^4 y^3 j, gamma: r(t)=raizt i+(1+t^3) j, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=x^3y^4,i+x^4y^3,j
e pede (1) encontrar uma função potencial f tal que F=nabla f e (2) usar essa função para calcular
integralgammaFcdot dr
na curva
gamma:r(t)=(raizt,,1+t^3), 0<= t<=1.
O assunto é campos conservativos e o teorema fundamental para integrais de linha.

Passo 2

Para achar f(x,y) satisfazendo nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y)=l(x^3y^4,,x^4y^3r), integremos a primeira componente em x:
partial fpartial x=x^3y^4 Longrightarrow f(x,y)=integral x^3y^4,dx =x^4y^44+g(y),
onde g(y) é uma “ constante” a determinar.

Passo 3

Agora impomos a segunda componente do gradiente:
partial fpartial y =partialpartial yl(x^4y^44+g(y)r) =x^4y^3+g'(y) stackrel!=x^4y^3
Isso dá g'(y)=0, logo g(y)=C. Podemos tomar C=0 sem perda de generalidade. Portanto
f(x,y)=x^4y^44

Passo 4

Como F=nabla f, usamos o teorema fundamental das integrais de linha:
integralgammaFcdot dr =fl(r(1)r)-fl(r(0)r)
Calculamos os extremos:
r(1)=(raiz1,,1+1^3)=(1,2) e
r(0)=(raiz0,,1+0)=(0,1).
Logo
f(1,2)=1^4cdot2^44=164=4, f(0,1)=0^4cdot1^44=0
Assim
integralgammaFcdot dr =4-0=4

Resposta

4

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