Use translação para representar geometricamente as funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para representá‑la geometricamente usando translações.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função original a ser estudada é
. - A tarefa é escrever e interpretar essa função como resultado de translações aplicadas a uma função mais simples (representação geométrica por translação).
- Não há restrição adicional no enunciado.
Passo 2
Fazer uma simplificação algébrica que mostre a função como soma/composição de coisas mais simples. Vamos manipular
:
Aqui ficou claro que
. Essa escrita já sugere: há uma função base
e depois são feitas duas operações: trocar
por
e somar
.
Passo 3
Explicar didaticamente o que significa cada operação em termos geométricos (lembrando que toda matemática vai estar em notação explícita).
- Começamos pela função básica
. Propriedades essenciais de : O gráfico de é a hipérbole com dois ramos (um no primeiro quadrante e outro no terceiro), aproximando‑se das assíntotas e . - Trocar
por em dá a função . Geometricamente isso corresponde a uma translação horizontal. Relembrando a regra: - A regra geral: substituir
por desloca o gráfico de uma função unidades para a direita; substituir por desloca unidades para a esquerda. - No nosso caso,
, então substituir por desloca o gráfico de uma unidade para a esquerda. - Consequências para
:
- A regra geral: substituir
Passo 4
Explicar a segunda operação: somar
à função
.
- Se tem
e se define , isso corresponde a uma translação vertical para cima de unidade. - Regra prática: adicionar uma constante positiva
desloca o gráfico para cima unidades; adicionar constante negativa desloca para baixo. - Aplicando ao caso:
é o gráfico de transladado para cima 1. Portanto: A assíntota vertical mantém‑se em (translação vertical não altera assíntota vertical).
Passo 5
Resumo da sequência de transformações — passo a passo geométrico (como você faria na prova, desenhando mentalmente ou no papel):
- Partir da função básica
(hipérbole com assíntotas e ). - Aplicar translação horizontal para a esquerda de
unidade: obter . Agora a assíntota vertical é , a assíntota horizontal continua . - Aplicar translação vertical para cima de
unidade: obter . Agora a assíntota horizontal é e a vertical permanece .
Passo 6
Observações úteis para a prova (o que verificar rapidamente ao desenhar ou justificar):
- Domínio:
porque aparece divisão por zero em . - Assíntotas: vertical
e horizontal . - Comportamento nos ramos: para
, então ; para , então . Para , então . - Pontos fáceis para plotar (exemplos para rascunho): calcule
, , . Esses pontos confirmam a forma dos ramos e a posição da assíntota horizontal.
Resposta
A função pode ser obtida a partir de
traduzindo primeiro uma unidade para a esquerda e depois uma unidade para cima, ou seja:
Assíntotas: vertical
e horizontal
.