Use translação para representar geometricamente as funções:
f(x)=\frac{x+2}{x+1};

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\, e pede para representá‑la geometricamente usando translações.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função original a ser estudada é \,f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\,.
  • A tarefa é escrever e interpretar essa função como resultado de translações aplicadas a uma função mais simples (representação geométrica por translação).
  • Não há restrição adicional no enunciado.

Passo 2

Fazer uma simplificação algébrica que mostre a função como soma/composição de coisas mais simples. Vamos manipular \,f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\,:
f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}=\dfrac{(x+1)+1}{x+1}=1+\dfrac{1}{x+1}.
Aqui ficou claro que \,f(x)=1+\dfrac{1}{x+1}\,. Essa escrita já sugere: há uma função base \,h(x)=\dfrac{1}{x}\, e depois são feitas duas operações: trocar x por x+1 e somar 1.

Passo 3

Explicar didaticamente o que significa cada operação em termos geométricos (lembrando que toda matemática vai estar em notação explícita).
  • Começamos pela função básica \,h(x)=\dfrac{1}{x}\,. Propriedades essenciais de \,h: \text{domínio: } x\neq 0,\qquad\text{assíntotas: vertical }x=0\text{ e horizontal }y=0.ííO gráfico de \,h é a hipérbole com dois ramos (um no primeiro quadrante e outro no terceiro), aproximando‑se das assíntotas x=0 e y=0.
  • Trocar x por x+1 em \,h dá a função \,g(x)=h(x+1)=\dfrac{1}{x+1}\,. Geometricamente isso corresponde a uma translação horizontal. Relembrando a regra:
    • A regra geral: substituir x por x-a desloca o gráfico de uma função a unidades para a direita; substituir por x+a desloca a unidades para a esquerda.
    • No nosso caso, \,x+1 = x-(-1)\,, então substituir x por x+1 desloca o gráfico de \,h uma unidade para a esquerda.
    • Consequências para \,g(x)=\dfrac{1}{x+1}: \text{domínio: } x\neq -1,\qquad \text{assíntota vertical em }x=-1,\qquad \text{assíntota horizontal em }y=0.ííí

Passo 4

Explicar a segunda operação: somar 1 à função \,g(x).
  • Se tem g(x) e se define f(x)=g(x)+1, isso corresponde a uma translação vertical para cima de 1 unidade.
  • Regra prática: adicionar uma constante positiva c desloca o gráfico para cima c unidades; adicionar constante negativa desloca para baixo.
  • Aplicando ao caso: f(x)=1+\dfrac{1}{x+1} é o gráfico de \,g(x)=\dfrac{1}{x+1}\, transladado para cima 1. Portanto: \text{assíntota horizontal de }f: y=0+1 \Rightarrow y=1.íA assíntota vertical mantém‑se em x=-1 (translação vertical não altera assíntota vertical).

Passo 5

Resumo da sequência de transformações — passo a passo geométrico (como você faria na prova, desenhando mentalmente ou no papel):
  1. Partir da função básica \,h(x)=\dfrac{1}{x}\, (hipérbole com assíntotas x=0 e y=0).
  2. Aplicar translação horizontal para a esquerda de 1 unidade: obter \,g(x)=\dfrac{1}{x+1}\,. Agora a assíntota vertical é x=-1, a assíntota horizontal continua y=0.
  3. Aplicar translação vertical para cima de 1 unidade: obter \,f(x)=1+\dfrac{1}{x+1}. Agora a assíntota horizontal é y=1 e a vertical permanece x=-1.

Passo 6

Observações úteis para a prova (o que verificar rapidamente ao desenhar ou justificar):
  • Domínio: \,x\neq -1\, porque aparece divisão por zero em \dfrac{1}{x+1}.
  • Assíntotas: vertical \,x=-1\, e horizontal \,y=1\,.
  • Comportamento nos ramos: para x\to -1^+, \dfrac{1}{x+1}\to +\infty então f(x)\to +\infty; para x\to -1^-, \dfrac{1}{x+1}\to -\infty então f(x)\to -\infty. Para x\to\pm\infty, \dfrac{1}{x+1}\to 0 então f(x)\to 1.
  • Pontos fáceis para plotar (exemplos para rascunho): calcule f(0)=1+\dfrac{1}{1}=2, f(1)=1+\dfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}, f(-2)=1+\dfrac{1}{-1}=0. Esses pontos confirmam a forma dos ramos e a posição da assíntota horizontal.

Resposta

A função pode ser obtida a partir de y=\dfrac{1}{x} traduzindo primeiro uma unidade para a esquerda e depois uma unidade para cima, ou seja:
f(x)=1+\dfrac{1}{x+1}.
Assíntotas: vertical x=-1 e horizontal y=1.

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