Determine:
Uma função
tal que
e
Uma função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função $ f(x) $ que satisfaça a equação diferencial $ f^{\prime}(x) + 6 \sin(3x) = 0 $ e que, além disso, passe pelo ponto $ f(0) = 5 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e integrais.
Passo 2
A equação dada é $ f^{\prime}(x) + 6 \sin(3x) = 0 $. Podemos reescrever isso isolando $ f^{\prime}(x) $:
Isso significa que a derivada da função $ f(x) $ em relação a $ x $ é igual a $ -6 \sin(3x) $.
Passo 3
Para encontrar $ f(x) $, precisamos integrar a derivada $ f^{\prime}(x) $. A integral de $ f^{\prime}(x) $ nos dará a função original mais uma constante de integração $ C $:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial $ f(0) = 5 $ para encontrar o valor da constante $ C $. Substituímos $ x = 0 $ na função:
Como $ \cos(0) = 1 $:
Resposta
A função que satisfaz a equação dada e a condição inicial é: