Determine:
Uma função f(x) tal que f^prime(x)+6 sen(3 x)=0 e f(0)=5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função $ f(x) $ que satisfaça a equação diferencial $ f^{\prime}(x) + 6 \sin(3x) = 0 $ e que, além disso, passe pelo ponto $ f(0) = 5 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e integrais.

Passo 2

A equação dada é $ f^{\prime}(x) + 6 \sin(3x) = 0 $. Podemos reescrever isso isolando $ f^{\prime}(x) $:
f^prime(x) + 6 sin(3x) = 0
Isso significa que a derivada da função $ f(x) $ em relação a $ x $ é igual a $ -6 \sin(3x) $.

Passo 3

Para encontrar $ f(x) $, precisamos integrar a derivada $ f^{\prime}(x) $. A integral de $ f^{\prime}(x) $ nos dará a função original mais uma constante de integração $ C $:
f(x)

Passo 4

Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Aplicando isso à nossa integral:
f(x) = -6 ( -13 cos(3x) ) + C = 2 cos(3x) + C

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial $ f(0) = 5 $ para encontrar o valor da constante $ C $. Substituímos $ x = 0 $ na função:
f(0) = 5
Como $ \cos(0) = 1 $:
C
x = 0
5 = 2 cos(0) + C

Resposta

A função que satisfaz a equação dada e a condição inicial é:
f(x) = 2 cos(3x) + 3

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