Determine a função \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) sendo f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases} Passo 1O enunciado define a função f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases} e pede a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(x,y). Para (x,y)\neq(0,0) vamos usar a regra do quociente, e em (0,0) vamos usar a definição de derivada parcial por limite.] Passo 2Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}, \quad u(x,y)=x^3, \quad v(x,y)=x^2+y^2. Como u não depende de y, temos \partial u/\partial y=0, e \partial v/\partial y=2y. Pela regra do quociente, \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\bigl(\partial u/\partial y\bigr)\,v - u\,\bigl(\partial v/\partial y\bigr)}{v^2} =\frac{0\cdot(x^2+y^2)-x^3\cdot2y}{(x^2+y^2)^2} =-\frac{2\,x^3\,y}{(x^2+y^2)^2}. Passo 3Em (0,0) usamos a definição \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0 - 0}{h}=0, pois para h\neq0 vale f(0,h)=0^3/(0+h^2)=0. RespostaPara (x,y)\neq(0,0): \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =-\frac{2\,x^3\,y}{(x^2+y^2)^2}. Em (0,0): \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre a soma da série dada. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}} . Encontre a soma da série dada. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}} . Determine e esboce o domínio de cada função real de duas variáveis: f(x, y)=\ln (y-x) (IME-92/93) Calcule o módulo e o argumento do número complexo \mathrm{Z}=\left[\sqrt[3]{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{36}\right)+\mathrm{i} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{36}\right)\right)\right]^{9} \cdot \mathrm{R} :