Determine a função \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) sendo
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(x,y). Para (x,y)\neq(0,0) vamos usar a regra do quociente, e em (0,0) vamos usar a definição de derivada parcial por limite.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos
f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}, \quad u(x,y)=x^3, \quad v(x,y)=x^2+y^2.
Como u não depende de y, temos \partial u/\partial y=0, e \partial v/\partial y=2y. Pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\bigl(\partial u/\partial y\bigr)\,v - u\,\bigl(\partial v/\partial y\bigr)}{v^2} =\frac{0\cdot(x^2+y^2)-x^3\cdot2y}{(x^2+y^2)^2} =-\frac{2\,x^3\,y}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Em (0,0) usamos a definição
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0 - 0}{h}=0,
pois para h\neq0 vale f(0,h)=0^3/(0+h^2)=0.

Resposta

Para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =-\frac{2\,x^3\,y}{(x^2+y^2)^2}.
Em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Exercícios relacionados