(IME-92/93) Calcule o módulo e o argumento do número complexo \mathrm{Z}=\left[\sqrt[3]{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{36}\right)+\mathrm{i} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{36}\right)\right)\right]^{9} \cdot \mathrm{R} :

Passo 1

O enunciado pede o módulo e o argumento de
Z=\Bigl(\sqrt[3]{2}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{36}+i\,\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{36}\bigr)\Bigr)^{9}\cdot R,
onde R é um número real (assumimos R>0 para não introduzir argumento adicional). Vamos usar o Teorema de De Moivre, que diz que se
w = r\bigl(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta\bigr),
então
w^n = r^n\bigl(\cos(n\theta) + i\,\operatorname{sen}(n\theta)\bigr).

Passo 2

Identificamos o módulo e o argumento do fator dentro do colchete:
– módulo:
r = \sqrt[3]{2},
– argumento:
\theta = \tfrac{\pi}{36}.

Passo 3

Aplicando De Moivre com n=9:
– novo módulo sem o R:
r^9 = \bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)^9 = 2^{9/3} = 2^3 = 8,
– novo argumento sem o R:
9\,\theta = 9\cdot \tfrac{\pi}{36} = \tfrac{\pi}{4}.
Portanto
\Bigl(\sqrt[3]{2}(\cos\tfrac{\pi}{36}+i\,\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{36})\Bigr)^{9} = 8\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4}+i\,\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 4

Agora multiplicamos por R. Como R é real e, em geral, \Arg(R)=0 se R>0, o módulo de Z multiplica por |R| e o argumento soma \Arg(R). Para R>0 temos:
– módulo de Z:
|Z| = 8\cdot R,
– argumento de Z:
\Arg(Z) = \tfrac{\pi}{4} + 0 = \tfrac{\pi}{4}.

Resposta

Módulo: \;|Z| = 8\,R.
Argumento: \;\Arg(Z) = \tfrac{\pi}{4}.

Exercícios relacionados