Determine uma função \gamma, cujo gráfico \gamma(x)=(x, y) passa pelo ponto (2,4) e seja normal ao campo \vec{F}=x \vec{i}+3 y \vec{j}. (dica: use o fato que \left(\gamma^{\prime} \cdot F\right)=0. Determine qual curva a solução descreve.

Passo 1

O enunciado pede uma curva \gamma dada como gráfico y=y(x) que passe por (2,4) e seja normal ao campo \vec F(x,y)=x\,\vec i+3y\,\vec j. “Normal” aqui significa que o vetor tangente \gamma'(x) é ortogonal a \vec F, isto é,
\gamma'(x)\cdot\vec F\bigl(x,y(x)\bigr)=0.
Vamos usar isso para obter uma equação diferencial para y(x) e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

O vetor tangente à curva é
\gamma'(x)=\bigl(1,\;y'(x)\bigr).
A condição de ortogonalidade \gamma'\cdot\vec F=0
(1,\;y')\cdot\bigl(x,\;3y\bigr) = x + 3y\,y' = 0.
Logo a equação diferencial é
3\,y\,\frac{dy}{dx} + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{x}{3y}.

Passo 3

Essa EDO é separável. Reescrevendo:
3\,y\,dy = -\,x\,dx.
Integramos dos dois lados:
\int 3y\,dy = \int -x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}\,y^2 = -\frac{1}{2}\,x^2 + C.
Multiplicando tudo por 2, obtemos
3\,y^2 + x^2 = C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição de passagem por (2,4). Substituindo x=2 e y=4 na relação acima:
3\cdot4^2 + 2^2 = 3\cdot16 + 4 = 48 + 4 = 52.
Logo C_1=52. A curva satisfaz
x^2 + 3\,y^2 = 52.

Passo 5

A equação x^2+3y^2=52 é justamente a forma cartesiana de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos \sqrt{52} ao longo de x e \sqrt{\tfrac{52}{3}} ao longo de y. Como passamos por (2,4), escolhemos o ramo positivo
y(x)=\sqrt{\frac{52 - x^2}{3}}.

Resposta

A curva solução é a elipse
x^2 + 3\,y^2 = 52,
e uma parametrização pelo próprio x (no domínio -\sqrt{52}\le x\le\sqrt{52}) é
\gamma(x)=\Bigl(x,\;\sqrt{\tfrac{52 - x^2}{3}}\Bigr),
que de fato passa em (2,4) e é ortogonal a \vec F.

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