Determine uma função
, cujo gráfico
passa pelo ponto
e seja normal ao campo
. (dica: use o fato que
. Determine qual curva a solução descreve.
Passo 1
O enunciado pede uma curva
dada como gráfico
que passe por
e seja normal ao campo
. “Normal” aqui significa que o vetor tangente
é ortogonal a
, isto é,
Vamos usar isso para obter uma equação diferencial para
e depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
O vetor tangente à curva é
A condição de ortogonalidade
dá
Logo a equação diferencial é
Passo 3
Essa EDO é separável. Reescrevendo:
Integramos dos dois lados:
Multiplicando tudo por 2, obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 4
Usamos a condição de passagem por
. Substituindo
e
na relação acima:
Logo
. A curva satisfaz
Passo 5
A equação
é justamente a forma cartesiana de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
ao longo de
e
ao longo de
. Como passamos por
, escolhemos o ramo positivo
Resposta
A curva solução é a elipse
e uma parametrização pelo próprio
(no domínio
) é
que de fato passa em
e é ortogonal a
.