Resolva as equações usando uma substituição adequada.
\frac{d y}{d x}=y+x(y+1)^{2}+1, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = y + x(y+1)^{2} + 1, \quad y(0)=1,
e sugere usar uma substituição para simplificar. Vamos resolver por etapas aplicando a teoria de equações de Bernoulli.

Passo 2

Definimos a nova variável
u = y + 1.
Então y = u - 1 e
\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx}.
Substituindo na equação original:
\frac{du}{dx} = (u-1) + x\,u^{2} + 1 = u + x\,u^{2}.
Ficamos com
\frac{du}{dx} = u + x\,u^{2}.

Passo 3

Reescrevemos como uma equação de Bernoulli:
\frac{du}{dx} - u = x\,u^{2}.
Aqui n=2. Para eliminar o termo u^{2}, usamos a substituição
v = \frac{1}{u}.

Passo 4

Calculamos dv/dx. Como v = u^{-1},
\frac{dv}{dx} = -u^{-2}\,\frac{du}{dx}.
Mas \displaystyle \frac{du}{dx} = u + x\,u^{2}, logo
\frac{dv}{dx} = -\frac{u + x\,u^{2}}{u^{2}} = -\frac{1}{u} - x = -v - x.
Obtemos a equação linear em v:
\frac{dv}{dx} + v = -x.

Passo 5

Resolvemos \displaystyle \frac{dv}{dx} + v = -x por fator integrante. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.
Multiplicando a equação por e^{x}:
\frac{d}{dx}\bigl(v\,e^{x}\bigr) = -x\,e^{x}.
Integrando em x:
v\,e^{x} = \int -x\,e^{x}\,dx = -x\,e^{x} + e^{x} + C,
portanto
v = 1 - x + C\,e^{-x}.

Passo 6

Voltando a u:
u = \frac{1}{v} = \frac{1}{1 - x + C\,e^{-x}},
e então
y = u - 1 = \frac{1}{1 - x + C\,e^{-x}} - 1.

Passo 7

Impondo a condição inicial y(0)=1:
1 = \frac{1}{1 - 0 + C\,e^{0}} - 1 = \frac{1}{1 + C} - 1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{1 + C} = 2 \;\Longrightarrow\; 1 + C = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac12.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{1 - x - \tfrac12\,e^{-x}} \;-\; 1.}

Exercícios relacionados