Resolva as equações usando uma substituição adequada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e sugere usar uma substituição para simplificar. Vamos resolver por etapas aplicando a teoria de equações de Bernoulli.
Passo 2
Definimos a nova variável
Então
e
Substituindo na equação original:
Ficamos com
Passo 3
Reescrevemos como uma equação de Bernoulli:
Aqui
. Para eliminar o termo
, usamos a substituição
Passo 4
Calculamos
. Como
,
Mas
, logo
Obtemos a equação linear em
:
Passo 5
Resolvemos
por fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
Integrando em
:
portanto
Passo 6
Voltando a
:
e então
Passo 7
Impondo a condição inicial
: