Determine a função horária do espaço, s=s(t), relativa à trajetória retilínea de um objeto que em t=2 s se encontra na posição s=8 m e cuja função horária da velocidade é dada por v(t)=4 t^3-2 t+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função da posição, s = s(t), de um objeto que se move em linha reta. Sabemos que, em t = 2,s, a posição é s = 8,m, e a função da velocidade é v(t) = 4t^3 - 2t + 1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é basicamente o contrário da derivada. Vou explicar cada passo pra gente entender direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
v(t) = dsdt
Para encontrar a função da posição, precisamos integrar a função da velocidade em relação ao tempo. A integração nos dá a antiderivada, que é a posição.

Passo 3

Vamos integrar a velocidade:
s(t) = integral v(t),dt = integral (4t^3 - 2t + 1),dt
Agora, integramos cada termo separadamente.

Passo 4

Integrando cada termo:
  • A integral de 4t^3 é 4 cdot t^44 = t^4
  • A integral de -2t é -2 cdot t^22 = -t^2
  • A integral de 1 é t
Então, juntando tudo:
s(t) = t^4 - t^2 + t + C
Onde C é a constante de integração que precisamos descobrir.

Passo 5

Para encontrar a constante C, usamos a informação que quando t = 2,s, s = 8,m. Substituindo esses valores na equação:
8 = (2)^4 - (2)^2 + 2 + C 8 = 16 - 4 + 2 + C 8 = 14 + C C = 8 - 14 C = -6

Resposta

Então, a função horária do espaço é:
s(t) = t^4 - t^2 + t - 6

Exercícios relacionados