Questão 4. Altere e ordem de integração e obtenha o valor da integral:
integral0^pi integralx^pi sen(x)y d y d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral duplinha que você me passou:
integral0^pi integralx^pi sin(x)y , dy , dx
Essa questão tá no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais duplas e troca de ordem de integração. A gente vai precisar entender como mudar a ordem de integração e depois calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original tem x indo de 0 até pi e, para cada x , o y vai de x até pi . Isso significa que estamos integrando sobre a área onde 0 <= x <= pi e x <= y <= pi . Vamos desenhar isso no plano xy pra visualizar melhor.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de x de 0 a pi e y de x a pi , a gente vai ter y de 0 a pi e, para cada y , x vai de 0 até y . Então, a integral fica:
integral0^pi integral0^y sin(x)y , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que agora é em relação a x :
integral0^y sin(x)y , dx = 1y integral0^y sin(x) , dx
A integral de sin(x) é -cos(x) , então:
1y [ -cos(x) ]0^y = 1y ( -cos(y) + cos(0) )
Sabemos que cos(0) = 1 , então:
1y (1 - cos(y))

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral exterior:
integral0^pi 1 - cos(y)y , dy
Essa integral é conhecida e está relacionada à função integral seno, mas vamos ver se conseguimos simplificar mais.

Passo 6

A função 1 - cos(y)y não tem uma antiderivada simples em termos de funções elementares. Então, a gente pode expressar o resultado usando a função integral seno ( Si(y) ) ou deixar a resposta em termos de uma integral definida.

Resposta

O valor da integral é dado por:
integral0^pi 1 - cos(y)y , dy
Que pode ser expresso em termos da função integral seno:
Si(pi)
Portanto, o valor da integral é Si(pi) .

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