Questão 4. Altere e ordem de integração e obtenha o valor da integral:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral duplinha que você me passou:
Essa questão tá no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais duplas e troca de ordem de integração. A gente vai precisar entender como mudar a ordem de integração e depois calcular a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original tem
indo de 0 até
e, para cada
, o
vai de
até
. Isso significa que estamos integrando sobre a área onde
e
. Vamos desenhar isso no plano
pra visualizar melhor.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de
de 0 a
e
de
a
, a gente vai ter
de 0 a
e, para cada
,
vai de 0 até
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que agora é em relação a
:
A integral de
é
, então:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral exterior:
Essa integral é conhecida e está relacionada à função integral seno, mas vamos ver se conseguimos simplificar mais.
Passo 6
A função
não tem uma antiderivada simples em termos de funções elementares. Então, a gente pode expressar o resultado usando a função integral seno (
) ou deixar a resposta em termos de uma integral definida.
Resposta
O valor da integral é dado por:
Que pode ser expresso em termos da função integral seno:
Portanto, o valor da integral é
.