A função C(x)=integral0^x cos (pi t^22) d t foi usada pelo físico francês Fresnel em sua teoria da difração das ondas. Determine:
Em quais intervalos C é crescente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma integral:
C(x) = integral0^x cos(pi t^22) dt
O que a questão pergunta é: Em quais intervalos a função C(x) está crescendo? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e comportamento das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, pra saber onde a função C(x) está crescendo, a gente precisa encontrar a derivada dela. Lembra que, se a derivada C'(x) for positiva em um intervalo, então C(x) está crescendo nesse intervalo.
Vamos calcular a derivada de C(x) :
C'(x) = ddx ( integral0^x cos(pi t^22) dt )
Pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior x é simplesmente a função dentro da integral avaliada em x . Então:
C'(x) = cos(pi x^22)

Passo 3

Agora, queremos saber para quais valores de x a derivada C'(x) é positiva:
cos(pi x^22) > 0
Então, precisamos encontrar os x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 4

Vamos analisar a função cosseno: sabemos que cos(theta) é positiva quando o ângulo theta está nos intervalos:
-pi2 + 2pi k < theta < pi2 + 2pi k
onde k é qualquer inteiro ( k in Z ).
No nosso caso, temos:
pi x^22 in (-pi2 + 2pi k, pi2 + 2pi k)
Mas como x^2 >= 0 , podemos simplificar para:
0 < pi x^22 < pi2 + 2pi k

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade para x :
Primeiro, dividindo todos os termos por pi/2 :
0 < x^2 < 1 + 4k
Então, tirando a raiz quadrada:
0 < x < raiz1 + 4k
Mas precisamos considerar os intervalos onde cos(pi x^22) é positivo, que ocorre dentro de cada faixa de 2pi . Isso nos leva aos seguintes intervalos para x :
Para cada inteiro k >= 0 :
raiz4k < x < raiz4k + 1

Passo 6

Vamos listar alguns desses intervalos:
  • Para k = 0 :
0 < x < 1
  • Para k = 1 :
2 < x < raiz5
  • Para k = 2 :
raiz8 approx 2.828 < x < raiz9 = 3
E assim por diante. Cada intervalo aumenta conforme k aumenta.

Resposta

A função C(x) está crescente nos intervalos:
0 < x < 1, 2 < x < raiz5, raiz8 < x < 3, e assim por diante, seguindo raiz4k < x < raiz4k + 1 para todo inteiro k >= 0

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