A função
foi usada pelo físico francês Fresnel em sua teoria da difração das ondas. Determine:
Em quais intervalos
é crescente;
Em quais intervalos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma integral:
O que a questão pergunta é: Em quais intervalos a função
está crescendo? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e comportamento das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, pra saber onde a função
está crescendo, a gente precisa encontrar a derivada dela. Lembra que, se a derivada
for positiva em um intervalo, então
está crescendo nesse intervalo.
Vamos calcular a derivada de
:
Pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior
é simplesmente a função dentro da integral avaliada em
. Então:
Passo 3
Agora, queremos saber para quais valores de
a derivada
é positiva:
Então, precisamos encontrar os
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 4
Vamos analisar a função cosseno: sabemos que
é positiva quando o ângulo
está nos intervalos:
onde
é qualquer inteiro (
).
No nosso caso, temos:
Mas como
, podemos simplificar para:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade para
:
Primeiro, dividindo todos os termos por
:
Então, tirando a raiz quadrada:
Mas precisamos considerar os intervalos onde
é positivo, que ocorre dentro de cada faixa de
. Isso nos leva aos seguintes intervalos para
:
Para cada inteiro
:
Passo 6
Vamos listar alguns desses intervalos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Cada intervalo aumenta conforme
aumenta.
Resposta
A função
está crescente nos intervalos: