Determine o menor valor para a imagem das funções:
f(x)=(34)^-x^2+4 x+3

Passo 1

Estamos com a função
f(x)=l(tfrac34r)^-x^2+4x+3
e queremos o menor valor da sua imagem. O conteúdo aqui é otimização: como a base tfrac34 está em (0,1), f(x) decresce quando o expoente aumenta, então basta achar o máximo do expoente.

Passo 2

Defina Q(x)=-x^2+4x+3. Como tfrac34in(0,1), a função b^Q(x) com b<1 é decrescente em Q(x). Logo, o mínimo de f(x) ocorre exatamente quando Q(x) atinge seu valor máximo.

Passo 3

Para maximizar Q(x)=-x^2+4x+3, note que é uma parábola com coeficiente a=-1<0. O vértice ocorre em
xv = -b2a = -42cdot(-1) = 2
O valor máximo é
Q(2) = -2^2 + 4cdot2 + 3 = -4 + 8 + 3 = 7

Passo 4

Como o expoente atinge 7 em x=2, o menor valor de f é
f(2) = l(tfrac34r)^7

Resposta

O menor valor da imagem de f é l(tfrac34r)^7.

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