Determine a função inversa.
y=x^3-1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3-1
e pede a sua inversa. O conteúdo envolvido é de funções inversas: precisamos verificar que f é bijetora (injetiva e sobrejetiva em R) e então trocar x e y para resolver pela nova variável.

Passo 2

Verificamos que
f'(x)=3x^2>=0
com igualdade só em x=0, mas como esse ponto não zera o crescimento em outros pontos, f é estritamente crescente em todo R. Logo f é injetiva. Como limxto-inftyf(x)=-infty e limxto+inftyf(x)=+infty, a imagem de f é todo R, ou seja, é sobrejetiva. Concluímos que f é bijetora.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos
y=x^3-1
e trocamos os papéis de x e y, obtendo
x=y^3-1Longrightarrow y^3=x+1Longrightarrow y=raiz[3],x+1,

Passo 4

Portanto, a função inversa f^-1 é
f^-1(x)=raiz[3],x+1,,
com domínio e contradomínio iguais a R.

Resposta

f^-1(x)=raiz[3],x+1,

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