Determine a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
f:[16,+infty[ R, f(x)=-3 x^2+x+1

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de
fcolon [16,+infty[;toR, f(x)=-3x^2+x+1,
além do domínio de f^-1. O conteúdo aqui é inversão de função quadrática restrita a um intervalo em que ela seja bijetora.

Passo 2

Verificamos a monotonicidade de f em [tfrac16,infty[.
A derivada é
f'(x) = -6x + 1,
que se anula em x=tfrac16. Para x>tfrac16 temos f'(x)<0, ou seja, f é estritamente decrescente nesse intervalo. Logo, f é invertível em [tfrac16,infty[.
O valor máximo ocorre em x=tfrac16:
f!l(tfrac16r) = -3l(tfrac16r)^2 + tfrac16 + 1 = -tfrac112 + tfrac16 + 1 = tfrac1312
E, quando xto+infty, f(x)to -infty.
Portanto, a imagem é
Im(f) = l]-infty,tfrac1312r]

Passo 3

Para encontrar f^-1, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x:
y = -3x^2 + x + 1 ;Longrightarrow; 3x^2 - x + (y-1) = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 - 12(y-1)6 = 1 pm raiz13 - 12y6

Passo 4

Das duas raízes
x1 = 1 + raiz13-12y6, x2 = 1 - raiz13-12y6,
devemos escolher a que satisfaz x>= tfrac16. Note que, quando y varia em l]-infty,tfrac1312r], a raiz com sinal “ +” em frente à raiz quadrada vai de +infty até tfrac16, enquanto a outra fica abaixo de tfrac16. Assim,
f^-1(y) = 1 + raiz13 - 12y6

Passo 5

O domínio de f^-1 é justamente a imagem de f, isto é
D(f^-1) = l]-infty,tfrac1312r]

Resposta

f^-1(y) = 1 + raiz13 - 12y6, D(f^-1) = l]-infty,tfrac1312r]

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