Determine a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a função inversa de
além do domínio de
. O conteúdo aqui é inversão de função quadrática restrita a um intervalo em que ela seja bijetora.
Passo 2
Verificamos a monotonicidade de
em
.
A derivada é
A derivada é
que se anula em
. Para
temos
, ou seja,
é estritamente decrescente nesse intervalo. Logo,
é invertível em
.
O valor máximo ocorre em :
O valor máximo ocorre em
E, quando
,
.
Portanto, a imagem é
Portanto, a imagem é
Passo 3
Para encontrar
, escrevemos
e resolvemos para
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Das duas raízes
devemos escolher a que satisfaz
. Note que, quando
varia em
, a raiz com sinal “
” em frente à raiz quadrada vai de
até
, enquanto a outra fica abaixo de
. Assim,
Passo 5
O domínio de
é justamente a imagem de
, isto é