Determine a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
f:[-1,+infty[ R, f(x)=raizx+1

Passo 1

O enunciado dá a função
f:[-1,+infty[;to;R, f(x)=raizx+1
e pede a sua inversa e o domínio dessa inversa. Aqui o conteúdo é o de funções bijetoras simples envolvendo raiz quadrada, e vamos precisar (1) determinar a imagem de f e (2) resolver a equação y=raizx+1 para encontrar f^-1.

Passo 2

Para achar a imagem de f, notamos que, como x varia em [-1,infty[, temos x+1>=0. Assim
f(x)=raizx+1
assume todos os valores não negativos. Logo a imagem de f é
Im(f)=[0,infty[

Passo 3

Para obter a inversa, escrevemos y=f(x):
y=raizx+1
Elevando ao quadrado os dois lados, temos
y^2 = x + 1
e daí
x = y^2 - 1
Portanto a função inversa é
f^-1(y) = y^2 - 1

Passo 4

O domínio da inversa f^-1 é exatamente a imagem de f, ou seja
Dom(f^-1)=[0,infty[

Resposta

A inversa é
f^-1(y)=y^2-1,
com domínio
[0,infty[

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