Questão 3 (2 pontos): Encontre uma função z=f(x, y) que satisfaça simultaneamente:
& partial zpartial x=e^x y^2+2 yx+cos y & partial zpartial y=2 e^x y+2 ln |x|-x sin y+3 y^2
e tal que f(1,0)=4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função z=f(x,y) cujo gradiente seja
partial zpartial x=e^xy^2+2yx+cos y, partial zpartial y=2e^xy+2ln|x|-xsin y+3y^2,
e tal que f(1,0)=4.
Este é um problema de potencial de campo vetorial (ou função potencial): verificamos que
partialpartial yl(e^xy^2+tfrac2yx+cos yr) =partialpartial xl(2e^xy+2ln|x|-xsin y+3y^2r),
logo existe f bem definida.

Passo 2

Integramos partial z/partial x em relação a x, mantendo y fixa:
f(x,y) =integrall(e^xy^2+tfrac2yx+cos yr),dx =y^2e^x+2yln|x|+xcos y+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 3

Agora calculamos partial f/partial y e igualamos a partial z/partial y para achar h(y):
partial fpartial y =2y,e^x+2ln|x|-xsin y+h'(y) stackrel!=2e^xy+2ln|x|-xsin y+3y^2
Assim h'(y)=3y^2, logo
h(y)=integral 3y^2,dy=y^3+C
Portanto
f(x,y)=y^2e^x+2yln|x|+xcos y+y^3+C

Passo 4

Impor a condição f(1,0)=4:
f(1,0)=0+0+1cdotcos0+0+C=1+C=4 Longrightarrow C=3

Resposta

f(x,y)=y^2e^x+2yln|x|+xcos y+y^3+3

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