Determine a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
f:] 1,+infty[ R, f(x)=raiz1x-1

Passo 1

O enunciado dá a função
f:(1,,+infty)toR, f(x)=raiz1x-1
e pede sua inversa f^-1 e o domínio dessa inversa. O conteúdo envolvido é encontrar a função inversa de uma função composta de raiz quadrada e recíproco, usando álgebra para isolar x em termos de y.

Passo 2

Primeiro vamos ver qual é o conjunto de valores que f atinge, pois esse será o domínio de f^-1. Para x>1 temos x-1>0, logo
1x-1>0Longrightarrow f(x)=raiz1x-1>0
À medida que xto1^+, 1x-1to+infty e f(x)to+infty; e quando xto+infty, 1x-1to0^+ e f(x)to0^+. Assim o contradomínio efetivo é (0,infty), e f é estritamente decrescente de (1,infty) em (0,infty), logo invertível.

Passo 3

Para achar a inversa, chamamos y=f(x) e resolvemos para x:
y=raiz1x-1 Longrightarrow y^2=1x-1 Longrightarrow x-1=1y^2 Longrightarrow x=1+1y^2
Portanto
f^-1(y)=1+1y^2

Passo 4

O domínio de f^-1 é justamente o conjunto de valores y que f produz, ou seja (0,infty). Além disso, para todo y>0 a expressão 1+1/y^2 está bem definida e retorna um número >1, coerente com o domínio original de f.

Resposta

A função inversa é
f^-1(y)=1+1y^2,
com domínio (0,infty).

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