Determine a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua inversa
e o domínio dessa inversa. O conteúdo envolvido é encontrar a função inversa de uma função composta de raiz quadrada e recíproco, usando álgebra para isolar
em termos de
.
Passo 2
Primeiro vamos ver qual é o conjunto de valores que
atinge, pois esse será o domínio de
. Para
temos
, logo
À medida que
,
e
; e quando
,
e
. Assim o contradomínio efetivo é
, e
é estritamente decrescente de
em
, logo invertível.
Passo 3
Para achar a inversa, chamamos
e resolvemos para
:
Portanto
Passo 4
O domínio de
é justamente o conjunto de valores
que
produz, ou seja
. Além disso, para todo
a expressão
está bem definida e retorna um número
, coerente com o domínio original de
.
Resposta
A função inversa é
com domínio
.