Questāo 4 (2 pontos): Determine os planos que são simultaneamente:
  • Tangentes ao gráfico de f(x, y)=4-x^2-y^2;
  • Paralelos ao plano 2 x-y+3 z=1.

Passo 1

O enunciado pede os planos tangentes ao gráfico de
z = f(x,y) = 4 - x^2 - y^2
que sejam paralelos ao plano
2x - y + 3z = 1
Para isso, vamos usar que o vetor normal ao plano tangente em (a,b,f(a,b)) é
l(fx(a,b),,fy(a,b),,-1r),
e que planos são paralelos se seus vetores normais forem colineares.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = -2x, fy(x,y) = -2y
Em (a,b), o normal ao tangente é
(-2a,,-2b,,-1)

Passo 3

Impondo colinearidade com (2,-1,3), existe lambdaneq0 tal que
(-2a,,-2b,,-1) = lambda,(2,,-1,,3)
Das componentes obtemos
-1 = 3lambda Longrightarrow lambda = -tfrac13,
-2a = 2lambda = -tfrac23 Longrightarrow a = tfrac13,
-2b = -lambda = tfrac13 Longrightarrow b = -tfrac16

Passo 4

O ponto de tangência é
l(a,b,f(a,b)r) = l(tfrac13,,-tfrac16,;4 - tfrac19 - tfrac136r) = l(tfrac13,,-tfrac16,;tfrac13936r)

Passo 5

A equação do plano tangente em (a,b,z0) é
z - z0 = fx(a,b),(x - a) + fy(a,b),(y - b)
Substituindo fx=-tfrac23, fy=tfrac13 e z0=tfrac13936, e reorganizando, chegamos a
2x - y + 3z = tfrac14912

Resposta

O único plano é
2x - y + 3z = 14912

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