Determine a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
f:] 12,+infty[ R, f(x)=7raiz2 x-1+3

Passo 1

No enunciado temos a função
fcolonl(tfrac12,inftyr)toR, f(x)=7raiz2x-1+3
O conteúdo é achar a função inversa e o domínio dessa inversa.

Passo 2

Para determinar a imagem de f, note que raiz2x-1 é crescente em x, logo 7raiz2x-1 é decrescente.
Quando xtotfrac12^+ temos raiz2x-1to0^+ e assim f(x)to+infty.
Quando xto+infty temos raiz2x-1to+infty e assim f(x)to3^+.
Portanto f é bijetora de l(tfrac12,inftyr) em (3,infty).

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x) e resolvemos em x:
y-3=7raiz2x-1
raiz2x-1=7,y-3,
2x-1=49(y-3)^2
x=12+492(y-3)^2
Logo
f^-1(y)=12+492(y-3)^2

Passo 4

Como a imagem de f é (3,infty), o domínio de f^-1 é
Dom(f^-1)=(3,infty)

Resposta

f^-1(y)=12+492(y-3)^2, Dom(f^-1)=(3,infty)

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