Questâo 5 (2 pontos): Catcule aproximadamente usando diferenciâis.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos aproximar raiz(4,01)^2+(3,02)^2 usando diferenciais. O conteúdo é aplicação do diferencial total em função de duas variáveis. Vamos definir
f(x,y)=raizx^2+y^2
e aproximar f(4,01,,3,02) a partir de um ponto base onde o cálculo é exato.

Passo 2

Escolhemos como ponto base (x0,y0)=(4,3), pois é próximo de (4,01,3,02) e raiz4^2+3^2=5. Logo,
f(4,3)=raiz4^2+3^2=5

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=xraizx^2+y^2, fy(x,y)=yraizx^2+y^2
Avaliando em (4,3),
fx(4,3)=45, fy(4,3)=35

Passo 4

Definimos as pequenas variações
De<a x=4,01-4=0,01, De<a y=3,02-3=0,02
O diferencial total é
df approx fx(4,3),De<a x + fy(4,3),De<a y = 45cdot0,01 + 35cdot0,02 =0,008 + 0,012 = 0,02

Passo 5

Por fim, a aproximação é
f(4,01,3,02)approx f(4,3) + df = 5 + 0,02 = 5,02

Resposta

5,02 (aproximadamente)

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