Determine o valor de c que satisfaz o T.V.M, se f:[-1,0] \longrightarrow \mathbb{R} é uma função dada por f(x)=x \sqrt{2-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em [-1,0] por
f(x)=x\sqrt{2-x^{2}}.
O que é pedido: encontrar um ponto c\in(-1,0) tal que o Teorema do Valor Médio (T.V.M.) seja satisfeito, isto é, encontrar c com
f'\text{(c)}=\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio considerado: [-1,0].
  • Função explícita: f(x)=x\sqrt{2-x^{2}}.
  • O resultado que precisamos usar do enunciado é único: encontrar o(s) c no intervalo aberto (-1,0) que satisfazem a igualdade do T.V.M.

Passo 2

Verificar hipóteses do T.V.M. (continuidade em [-1,0] e diferenciabilidade em (-1,0)).
  • A função g(x)=\sqrt{2-x^{2}} é bem definida e contínua para x\in[-1,0], porque 2-x^{2} varia em [1,2], sempre positivo. Multiplicando por x continua-se com continuidade (produto de funções contínuas).
  • A função é diferenciável em (-1,0) porque \sqrt{2-x^{2}} é diferenciável aí (composição de funções diferenciáveis onde a derivada do interior não zera problema) e o produto com x preserva diferenciabilidade.
    Portanto as hipóteses do T.V.M. estão satisfeitas e existe pelo menos um c\in(-1,0) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(0)-f(-1)}{1}.

Passo 3

Calcular a razão de variação média (a inclinação da secante entre os extremos):
  • Primeiro f(0):
f(0)=0\cdot\sqrt{2-0^{2}}=0.
  • Depois f(-1):
f(-1)=(-1)\cdot\sqrt{2-(-1)^{2}}=(-1)\cdot\sqrt{1}=-1.
  • Logo a inclinação da secante é
\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=\frac{0-(-1)}{1}=1.
Conclusão: o c procurado satisfaz f'\text{(c)}=1.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) passo a passo e explicar as regras usadas.
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)v(x) então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui u(x)=x e v(x)=\sqrt{2-x^{2}}.
  • Regra da cadeia: se v(x)=\sqrt{w(x)}=(w(x))^{1/2} então v'(x)=\tfrac{1}{2}(w(x))^{-1/2}w'(x). No nosso caso w(x)=2-x^{2} e w'(x)=-2x.
    Aplicando:
f'(x)=1\cdot\sqrt{2-x^{2}}+x\cdot\frac{1}{2}(2-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x).
Simplificando o segundo termo:
x\cdot\frac{1}{2}\cdot(-2x)\cdot(2-x^{2})^{-1/2}=x\cdot(-x)\cdot(2-x^{2})^{-1/2}=-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}.
Somando os termos:
f'(x)=\sqrt{2-x^{2}}-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}.
Colocando em denominação única:
f'(x)=\frac{2-x^{2}-x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}=\frac{2-2x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}= \frac{2(1-x^{2})}{\sqrt{2-x^{2}}}.

Passo 5

Resolver a equação f'\text{(c)}=1.
A partir de f'(x)=\dfrac{2(1-x^{2})}{\sqrt{2-x^{2}}}, impomos
\frac{2(1-x^{2})}{\sqrt{2-x^{2}}}=1.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2-x^{2}} (positivo no intervalo):
2(1-x^{2})=\sqrt{2-x^{2}}.
Faz a substituição auxiliar t=\sqrt{2-x^{2}}, com t\ge 0. Então x^{2}=2-t^{2}. A equação vira
2\bigl(1-(2-t^{2})\bigr)=t,
ou seja
2(-1+t^{2})=t.
Organizando:
2t^{2}-t-2=0.
Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara): o discriminante é \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-2)=1+16=17. Assim
t=\frac{1\pm\sqrt{17}}{4}.
Como t\ge 0, descartamos a raiz negativa e ficamos com
t=\frac{1+\sqrt{17}}{4}.
Voltar para x^{2}=2-t^{2}. Primeiro calcular t^{2}:
t^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{17}}{4}\right)^{2}=\frac{(1+\sqrt{17})^{2}}{16}=\frac{1+2\sqrt{17}+17}{16}=\frac{18+2\sqrt{17}}{16}=\frac{9+\sqrt{17}}{8}.
Logo
x^{2}=2-t^{2}=2-\frac{9+\sqrt{17}}{8}=\frac{16-(9+\sqrt{17})}{8}=\frac{7-\sqrt{17}}{8}.
Portanto
x=\pm\sqrt{\frac{7-\sqrt{17}}{8}}.
Mas precisamos c\in(-1,0), ou seja, o sinal negativo. Assim
c=-\sqrt{\frac{7-\sqrt{17}}{8}}.
Valor numérico aproximado (para intuição): \sqrt{\dfrac{7-\sqrt{17}}{8}}\approx 0,5997, então c\approx -0,5997, que está em (-1,0) como desejado.

Resposta

c=-\sqrt{\dfrac{7-\sqrt{17}}{8}}\approx -0,5997

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