Determine o valor de
que satisfaz o T.V.M, se
é uma função dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
por
O que é pedido: encontrar um ponto
tal que o Teorema do Valor Médio (T.V.M.) seja satisfeito, isto é, encontrar
com
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio considerado:
. - Função explícita:
. - O resultado que precisamos usar do enunciado é único: encontrar o(s)
no intervalo aberto que satisfazem a igualdade do T.V.M.
Passo 2
Verificar hipóteses do T.V.M. (continuidade em
e diferenciabilidade em
).
- A função
é bem definida e contínua para , porque varia em , sempre positivo. Multiplicando por continua-se com continuidade (produto de funções contínuas). - A função é diferenciável em
porque é diferenciável aí (composição de funções diferenciáveis onde a derivada do interior não zera problema) e o produto com preserva diferenciabilidade.
Portanto as hipóteses do T.V.M. estão satisfeitas e existe pelo menos umtal que
Passo 3
Calcular a razão de variação média (a inclinação da secante entre os extremos):
- Primeiro
:
- Depois
:
- Logo a inclinação da secante é
Conclusão: o
procurado satisfaz
.
Passo 4
Calcular a derivada
passo a passo e explicar as regras usadas.
- Regra do produto: se
então . Aqui e . - Regra da cadeia: se
então . No nosso caso e .
Aplicando:
Simplificando o segundo termo:
Somando os termos:
Colocando em denominação única:
Passo 5
Resolver a equação
.
A partir de , impomos
A partir de
Multiplicando ambos os lados por
(positivo no intervalo):
Faz a substituição auxiliar
, com
. Então
. A equação vira
ou seja
Organizando:
Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara): o discriminante é
. Assim
Como
, descartamos a raiz negativa e ficamos com
Voltar para
. Primeiro calcular
:
Logo
Portanto
Mas precisamos
, ou seja, o sinal negativo. Assim
Valor numérico aproximado (para intuição):
, então
, que está em
como desejado.