Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier. ;
Passo 1
Temos a função definida em . A missão é verificar se ela é par ou ímpar e encontrar sua série de Fourier no intervalo de período . Para isso, vamos usar as fórmulas padrão de séries de Fourier e as propriedades de paridade.
Passo 2
Para verificar a paridade, calculamos . Como , concluímos que é uma função ímpar. Por ser ímpar, em sua série de Fourier só aparecerão os termos de seno.
Passo 3
A série de Fourier geral de uma função ímpar de período é dada por
onde os coeficientes vêm da fórmula
Passo 4
Como o produto de duas funções ímpares é uma função par, podemos simplificar a integral usando simetria:
Passo 5
Para calcular , usamos integração por partes com e . Assim:
Logo,
Passo 6
Avaliando cada termo, temos:
Portanto,
integral0^pixsin(nx),dx=-pi(-1)^nn
Substituindo em bn:
bn=2pil(-pi(-1)^nnr)= -2(-1)^nn=2(-1)^n+1n
Passo 7
Reunindo tudo, a série de Fourier de f(x)=x em -pi fica: