Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
f(x)=x, -pi;

Passo 1

Temos a função f(x)=x definida em -pi. A missão é verificar se ela é par ou ímpar e encontrar sua série de Fourier no intervalo de período 2pi. Para isso, vamos usar as fórmulas padrão de séries de Fourier e as propriedades de paridade.

Passo 2

Para verificar a paridade, calculamos f(-x)=-x=-f(x). Como f(-x)=-f(x), concluímos que f é uma função ímpar. Por ser ímpar, em sua série de Fourier só aparecerão os termos de seno.

Passo 3

A série de Fourier geral de uma função ímpar de período 2pi é dada por
f(x)=sumn=1^infty bnsin(nx),
onde os coeficientes bn vêm da fórmula
bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx

Passo 4

Como o produto de duas funções ímpares é uma função par, podemos simplificar a integral usando simetria:
bn=2piintegral0^pixsin(nx),dx

Passo 5

Para calcular integral0^pixsin(nx),dx, usamos integração por partes com u=x e dv=sin(nx),dx. Assim:
u=x, du=dx, dv=sin(nx),dx, v=-cos(nx)n
Logo,
integral0^pixsin(nx),dx=[-xcos(nx)n]0^pi+1nintegral0^picos(nx),dx

Passo 6

Avaliando cada termo, temos:
[-xcos(nx)n]0^pi=-picos(npi)n=-pi(-1)^nn,
integral0^picos(nx),dx=sin(nx)n|0^pi=0
Portanto,
integral0^pixsin(nx),dx=-pi(-1)^nn
Substituindo em bn:
bn=2pil(-pi(-1)^nnr)= -2(-1)^nn=2(-1)^n+1n

Passo 7

Reunindo tudo, a série de Fourier de f(x)=x em -pi fica:
f(x)=sumn=1^infty2(-1)^n+1nsin(nx)

Resposta

A função é ímpar e sua série de Fourier é
f(x)=sumn=1^infty2(-1)^n+1nsin(nx)

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