Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
f(x)= x+1, & -1

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes em (–1,1):
f(x)=x+1,&-1
Precisamos determinar se é par ou ímpar e, em seguida, obter sua série de Fourier no intervalo [-1,1], tomando L=1.

Passo 2

Para verificar a paridade, calculamos f(−x) para x em (0,1):
f(−x)=(-x)+1=1−x=−(x−1)=−f(x)
Isso mostra que f é função ímpar.

Passo 3

Para uma função ímpar de período 2 (L=1), só aparecem termos senoidais. O coeficiente geral é
$$b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x),dx,
bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx, íb_n=2\int_{0}^{1}f(x)\sin(n\pi x),dx=2\int_{0}^{1}(x-1)\sin(n\pi x),dx.$$

Passo 4

Chamamos
I=integral0^1(x-1)sin(npi x),dx =integral0^1xsin(npi x),dx-integral0^1sin(npi x),dx

Passo 5

Primeiro, calcule
$$A=\int_{0}^{1}\sin(n\pi x),dx=\frac{1-(-1)^n}{n\pi}.
$$

Passo 6

Depois, por partes em B=integral0^1xsin(npi x),dx com u=x, dv=sin(npi x)dx, obtemos
$$B=\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}.
$$

Passo 7

Então
$$I=B-A=\frac{(-1){n+1}}{n\pi}-\frac{1-(-1)n}{n\pi}=-\frac{1}{n\pi},
I=B-A=(-1)^n+1npi-1-(-1)^nnpi=-1npi, b_n=2I=-\frac{2}{n\pi}.
$$

Passo 8

Concluímos que a série de Fourier de f é só em senos:
f(x)=sumn=1^inftybnsin(npi x) = -sumn=1^infty2npisin(npi x)

Resposta

f é função ímpar e sua série de Fourier em (–1,1) é
f(x)=-2pisumn=1^infty1nsin(npi x)

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