Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes em (–1,1):
Precisamos determinar se é par ou ímpar e, em seguida, obter sua série de Fourier no intervalo
Passo 2
Para verificar a paridade, calculamos f(−x) para x em (0,1):
Isso mostra que f é função ímpar.
Passo 3
Para uma função ímpar de período 2 (L=1), só aparecem termos senoidais. O coeficiente geral é
$$b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x),dx,
Passo 4
Chamamos
Passo 5
Primeiro, calcule
$$A=\int_{0}^{1}\sin(n\pi x),dx=\frac{1-(-1)^n}{n\pi}.
$$
Passo 6
Depois, por partes em
com
, obtemos
$$B=\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}.
$$
Passo 7
Então
$$I=B-A=\frac{(-1){n+1}}{n\pi}-\frac{1-(-1)n}{n\pi}=-\frac{1}{n\pi},
$$
Passo 8
Concluímos que a série de Fourier de f é só em senos:
Resposta
f é função ímpar e sua série de Fourier em (–1,1) é