Esboce o sólido cujo volume pode ser calculado pela integral dupla integral0^1 integral0^2 pi(1-r^2) r d r d theta.

Passo 1

A questão pede o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral dupla em coordenadas polares integral0^1 integral0^2pi (1 - r^2),r,dtheta,dr. O conteúdo é cálculo de volume por integrais duplas em coordenadas polares, e vamos precisar interpretar geometricamente a região de integração e o integrando.

Passo 2

A região de integração é descrita por 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi, que em coordenadas cartesianas corresponde ao disco de raio 1 centrado na origem, ou seja, D = (x,y) : x^2 + y^2 <= 1

Passo 3

O integrando r(1 - r^2),dr,dtheta surge do produto do Jacobiano r com a função f(r,theta)=1 - r^2. Geometricamente, isso corresponde ao volume sob a superfície
z = 1 - r^2 = 1 - (x^2 + y^2)
acima do disco D no plano z=0.

Passo 4

Assim, o sólido é definido por
0 <= z <= 1 - (x^2 + y^2), x^2 + y^2 <= 1
Para esboçar, desenhe o paraboloide invertido de vértice em (0,0,1) que se fecha no plano z=0 ao redor de um círculo de raio 1. A curva de interseção com z=0 é o círculo x^2 + y^2 = 1.

Resposta

O sólido é o paraboloide circular invertido dado por z = 1 - x^2 - y^2 sobre o disco x^2 + y^2 <= 1, com vértice em (0,0,1) e base no plano z=0 de raio 1.

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