Determine se f é uma função par, ímpar ou nenhuma das duas.
\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \ln\!\biggl(\frac{1+x}{1 - x}\biggr)
com domínio (-1,1) e pede para identificarmos se f é par, ímpar ou nenhuma das duas. Lembrando a definição:
f é par se, para todo x no domínio,
f(-x) = f(x).
f é ímpar se, para todo x no domínio,
f(-x) = -\,f(x).
Para resolver, basta calcular f(-x) e comparar com f(x).

Passo 2

Calculando f(-x):
f(-x) = \ln\!\biggl(\frac{1 + (-x)}{1 - (-x)}\biggr) = \ln\!\biggl(\frac{1 - x}{1 + x}\biggr).
Mas
\frac{1 - x}{1 + x} = \biggl(\frac{1 + x}{1 - x}\biggr)^{\!-1},
então
f(-x) = \ln\!\Bigl(\bigl(\tfrac{1 + x}{1 - x}\bigr)^{-1}\Bigr) = -\,\ln\!\bigl(\tfrac{1 + x}{1 - x}\bigr) = -\,f(x).

Passo 3

Como encontramos que para todo x em (-1,1) vale
f(-x) = -\,f(x),
seguimos a definição e concluímos que f é uma função ímpar.

Resposta

A função f é ímpar.

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