Determine se a função é par, ímpar ou nem par nem ímpar:
f(x)=\left\{\begin{array}{r}x+5,-2<x<0 \\\\ -x+5,0 \leq x<2\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+5, & -2<x<0,\\\\ -\,x+5, & 0\le x<2, \end{cases}
e pede para determinar se ela é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Conteúdo: simetria de funções (paridade). Vamos usar a definição de função par e ímpar e checar a igualdade em cada região do domínio.

Passo 2

Lembrando as definições:
f é par se, para todo x no domínio,
f(-x)=f(x).
f é ímpar se, para todo x no domínio,
f(-x)=-\,f(x).

Passo 3

Verificar se o domínio é simétrico em torno da origem.
Aqui o domínio é (-2,2) (com 0 incluído pela segunda parte). Se x\in(0,2) então -x\in(-2,0), e se x\in(-2,0) então -x\in(0,2). Logo o domínio é simétrico.

Passo 4

Calcular f(-x) e comparar com f(x).
Para x>0 ( x\in(0,2)) temos -x\in(-2,0), então
f(-x)=(-x)+5=-\,x+5,
enquanto
f(x)=-\,x+5.
Portanto f(-x)=f(x) nessa região.

Passo 5

Para x<0 ( x\in(-2,0)) temos -x\in(0,2), então
f(-x)=-(-x)+5=x+5,
enquanto
f(x)=x+5.
Também dá f(-x)=f(x).

Resposta

A função é par.

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