Determine se a função é periódica ou não. No caso da função ser periódica, indique o periodo.
f(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \displaystyle f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{k}\bigr)
é periódica e, em caso afirmativo, determinar seu período. O conteúdo envolve periodicidade de funções trigonométricas, em especial da função seno.

Passo 2

Uma função f é periódica se existe um número T\neq0 tal que
f(x+T)=f(x)
para todo x. Sabemos também que a função seno satisfaz \sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta).

Passo 3

Precisamos achar T>0 de modo que
\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi(x+T)}{k}\bigr) = \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{k}\bigr).
Pela propriedade de periodicidade do seno, basta que
\tfrac{\pi(x+T)}{k} = \tfrac{\pi x}{k} +2\pi m, \quad m\in\mathbb{Z}.
Desse modo temos
\tfrac{\pi T}{k}=2\pi m \quad\Longrightarrow\quad T=2k\,m.
O menor valor positivo de T ocorre para m=1, ou seja,
T=2k.

Resposta

A função é periódica e seu período fundamental é 2k.

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