Determine se a função é periódica ou não. No caso da função ser periódica, indique o periodo.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}(-1)^{n}, & 2 n-1<x \leq 2 n \\\\ 1, & 2 n<x \leq 2 n+1\end{array} \quad n=1,2,3, \ldots\right.

Passo 1

O enunciado define a função f\) por partes em intervalos unitários indexados por \(n=1,2,3,\ldots\): \[f(x)= \begin{cases} (-1)^{n}, & 2n-1 < x \le 2n,\\\\ 1, & 2n < x \le 2n+1. \end{cases}
O objetivo é verificar se existe T>0\] tal que \(f(x+T)=f(x) para todo x, e, em caso afirmativo, encontrar o menor T (período fundamental).

Passo 2

Vamos calcular alguns valores de f em intervalos consecutivos com n=1,2,3:
Para n=1:
1 < x \le 2\implies f(x)=(-1)^1=-1,\quad 2 < x \le 3\implies f(x)=1.
Para n=2:
3 < x \le 4\implies f(x)=(-1)^2=1,\quad 4 < x \le 5\implies f(x)=1.
Para n=3:
5 < x \le 6\implies f(x)=(-1)^3=-1,\quad 6 < x \le 7\implies f(x)=1.
Assim, em blocos de comprimento 1 temos a sequência de valores
-1,\;1,\;1,\;1,\;-1,\;1,\;1,\;1,\;\dots
Note que o padrão -1,1,1,1 se repete.

Passo 3

Como o padrão de valores se repete a cada quatro intervalos de comprimento 1, um palpite natural para o período é
T = 4.

Passo 4

Para confirmar, seja x tal que 2n-1 < x \le 2n. Então
x+4 \in (2n+3,\;2n+4] = \bigl(2(n+2)-1,\;2(n+2)\bigr],
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f(x+4)=(-1)^{\,n+2}=(-1)^n=f(x).
Se 2n < x \le 2n+1, então
x+4\in\bigl(2(n+2),\;2(n+2)+1\bigr],
e nessas regiões f=1 tanto em x quanto em x+4. Assim, de fato
f(x+4)=f(x)\quad\forall x
e não há período menor que 4 que satisfaça essa repetição.

Resposta

A função é periódica e seu período fundamental é T=4.

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