Determine se a função é periódica ou não. No caso da função ser periódica, indique o periodo. f(x)=\left\{\begin{array}{cc}(-1)^{n}, & 2 n-1<x \leq 2 n \\\\ 1, & 2 n<x \leq 2 n+1\end{array} \quad n=1,2,3, \ldots\right.
Passo 1
O enunciado define a função f\) por partes em intervalos unitários indexados por \(n=1,2,3,\ldots\):
\[f(x)= \begin{cases} (-1)^{n}, & 2n-1 < x \le 2n,\\\\ 1, & 2n < x \le 2n+1. \end{cases}
O objetivo é verificar se existe T>0\] tal que \(f(x+T)=f(x) para todo x, e, em caso afirmativo, encontrar o menor T (período fundamental).
Passo 2
Vamos calcular alguns valores de f em intervalos consecutivos com n=1,2,3:
Para n=1:
1 < x \le 2\implies f(x)=(-1)^1=-1,\quad 2 < x \le 3\implies f(x)=1.
Para n=2:
3 < x \le 4\implies f(x)=(-1)^2=1,\quad 4 < x \le 5\implies f(x)=1.
Para n=3:
5 < x \le 6\implies f(x)=(-1)^3=-1,\quad 6 < x \le 7\implies f(x)=1.
Assim, em blocos de comprimento 1 temos a sequência de valores
-1,\;1,\;1,\;1,\;-1,\;1,\;1,\;1,\;\dots
Note que o padrão -1,1,1,1 se repete.
Passo 3
Como o padrão de valores se repete a cada quatro intervalos de comprimento 1, um palpite natural para o período é
T = 4.
Passo 4
Para confirmar, seja x tal que 2n-1 < x \le 2n. Então