Determine L in R e uma função g: R R polinomial, se possível, de modo que as funções f e g sejam iguais, onde:
f(x)=x^2-25x+5, se x neq-5 e f(x)=L, se x=-5;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função [f) definida por:
Queremos determinar o valor de tal que para todos os em . Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para f(x) quando x neq -5 :
f(x) = x^2 - 25x + 5
Observamos que o numerador x^2 - 25 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
Substituindo na função:
f(x) = (x + 5)(x - 5)x + 5

Passo 3

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo x + 5 no numerador e no denominador:
f(x) = x - 5
Esta simplificação é válida para todo x neq -5 , já que para x = -5 o denominador original seria zero, o que não é permitido.

Passo 4

Para que a função f(x) seja contínua em todo o domínio R , o valor em x = -5 deve ser igual ao limite de f(x) quando x se aproxima de -5. Calculamos esse limite:
limx to -5 f(x) = limx to -5 (x - 5) = -5 - 5 = -10

Passo 5

Para que f(x) seja igual a uma função polinomial em todo R , o valor de L deve ser igual a esse limite. Portanto:
L = -10
E a função polinomial g(x) que iguala f(x) para todo x é:
g(x) = x - 5

Resposta

L = -10 e g(x) = x - 5 .

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