Determine L in R e uma função g: R R polinomial, se possível, de modo que as funções f e g sejam iguais, onde:
f(x)=x^2-5 x+6x-3, se x neq 3 e
f(x)=L, se x=3 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar um valor real [L) e uma função polinomial tal que as funções e sejam iguais. A função está definida assim:
O conteúdo envolvido aqui é funções racionais e polinômios, além de continuidade de funções. Vamos precisar simplificar a função (f(x)] e garantir que ela seja igual a um polinômio em todo o domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^2 - 5x + 6x - 3. Para isso, vamos fatorar o numerador:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Então, substituindo na fração:
(x - 2)(x - 3)x - 3

Passo 3

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo (x - 3) no numerador e no denominador, mas lembrando que isso só é válido para x neq 3 :
(x - 2)cancel(x - 3)cancel(x - 3) = x - 2 para x neq 3
Então, para todos os x diferentes de 3, f(x) = x - 2 .

Passo 4

Queremos que a função g(x) seja polinomial e igual a f(x) em todos os pontos, inclusive em x = 3 . Já vimos que f(x) = x - 2 para x neq 3 . Para garantir que g(x) seja igual a f(x) em todo lugar, vamos definir:
g(x) = x - 2
Essa é uma função polinomial de primeiro grau.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor de L para que f seja igual a g em x = 3 . Sabemos que g(3) = 3 - 2 = 1 . Para que f e g sejam iguais em x = 3 , devemos ter:
f(3) = L = g(3) = 1

Resposta

L = 1 e g(x) = x - 2

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