Determine
e uma função
polinomial, se possível, de modo que as funções
e
sejam iguais, onde:
, se
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar um valor real [L) e uma função polinomial
tal que as funções
e
sejam iguais. A função
está definida assim:
O conteúdo envolvido aqui é funções racionais e polinômios, além de continuidade de funções. Vamos precisar simplificar a função (f(x)] e garantir que ela seja igual a um polinômio em todo o domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para isso, vamos fatorar o numerador:
Então, substituindo na fração:
Passo 3
Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo
no numerador e no denominador, mas lembrando que isso só é válido para
:
Então, para todos os
diferentes de 3,
.
Passo 4
Queremos que a função
seja polinomial e igual a
em todos os pontos, inclusive em
. Já vimos que
para
. Para garantir que
seja igual a
em todo lugar, vamos definir:
Essa é uma função polinomial de primeiro grau.
Passo 5
Agora, precisamos determinar o valor de
para que
seja igual a
em
. Sabemos que
. Para que
e
sejam iguais em
, devemos ter: