Use mudança de variável adequada para o cálculo dos limites seguintes.
lim (x, y) (0,0) sen(x^2 y^2)x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, x e y , quando elas se aproximam de zero. O exercício é calcular:
lim(x, y) (0,0) sin(x^2 y^2)x^2 y^2
Para isso, vamos usar a técnica de mudança de variável, que facilita a avaliação de limites mais complicados.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição inteligente. Vamos chamar z = x^2 y^2 . Por que isso? Porque o argumento dentro do seno fica mais simples, e sabemos um limite bacana envolvendo sin(z) .
Agora, quando (x, y) (0,0) , tanto x quanto y estão indo para zero, então z = x^2 y^2 também vai para zero.

Passo 3

Com essa substituição, nosso limite fica assim:
limz 0 sin(z)z
Esse é um limite clássico da matemática, que todo mundo aprende na aula de cálculo. A ideia é que, conforme z se aproxima de zero, o quociente sin(z)z se aproxima de 1.

Passo 4

Então, aplicando esse conhecimento, concluímos que:
limz 0 sin(z)z = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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